【数学クイズ・パズル】マッチ棒パズル – マッチ棒を取り除いて正方形を作ろう

2018年11月12日

この記事ではこんなことを紹介しています

マッチ棒を取り除いて、正方形を作るパズルです。

まずは、パズルを3問出題します。あなたは全問解けますか?

問題と解いた後は、自分が問題の作成者になったつもりでマッチ棒のパズルを分析していきましょう。

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マッチ棒と取り除いて正方形を作るパズル(3問)

マッチ棒と取り除いて正方形を作るパズル

以下のような、マッチ棒で作られた図形があります。

  1. マッチ棒を3本取り除いて3つの正方形を残してください。
  2. マッチ棒を3本取り除いて5つの正方形を残してください。
  3. マッチ棒を5本取り除いて2つの正方形を残してください。

ただし、マッチ棒が飛び出した状態はだめです。必ず正方形だけにしてください。例えば、以下のように正方形を構成するのに使われていないマッチ棒が残るのはダメです。

以下、解答ですのでスクロールに注意してください。

 

1問目の解答

では、1問目「マッチ棒を3本取り除いて3つの正方形を残す」の解答です。

 

薄くなっているマッチ棒を取り除きます。

 

すると、1つのマッチ棒の長さを一辺とした正方形が三つ現れましたね。

 

2問目の解答

続いて、2問目「マッチ棒を3本取り除いて5つの正方形を残す」の解答です。

 

以下の薄くなっているマッチ棒を取り除きます。

 

すると、1つのマッチ棒の長さを一辺とした正方形が四つ現れましたね。

そして、もう一つ図形全体に注目すると、2つのマッチ棒の長さを一辺とした正方形が見えます。

これで、4+1=5となり、5つの正方形を作ることができました。

 

3問目の解答

続いて、3問目「マッチ棒を5本取り除いて2つの正方形を残す」の解答です。

 

以下の薄くなっているマッチ棒を取り除きます。

 

すると、大小異なる正方形が現れました。

 

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マッチ棒パズル作成者になったつもりで、分析してみましょう

ここからは、マッチ棒パズル作成者の目線で、上で紹介した、

「マッチ棒を取り除て、正方形を残す」

というパズルについて分析していきましょう。

 

問題を作成するときには、「がむしゃらにやってみる」という思考方法ではダメです。

問題の本質を理解するために、一つ一つ理論立て問題の構築を進めていきましょう。

 

すべての正方形を確認する

上で解いたパズルと同様に、以下の図形について考えていきます。

 

まずは、問題のマッチ棒の図形に正方形がいくつあるのか考えてみましょう。

「5つ」とまずは気づきますね。

でも、まだ大きな正方形がありました。

ですので、全部で「6つ」です。ここからこれらの正方形の数を変化させる方法を考えます。

 

マッチ棒1本取り除くと正方形はいくつ残る?

次に、マッチ棒1本取り除くと正方形はいくつ残るでしょう?

この場合、取り除いたあとに、マッチ棒が飛び出していてはだめです。

そうすると、以下の1パターンしかないことがわかります。

残る正方形は4つですね。

 

ですので、1本のマッチ棒を取り除いてできる正方形の答えは「4つ」しかないことがわかります。

 

マッチ棒を2本取り除くと正方形はいくつ残る?

続いて、マッチ棒を2本取り除くと正方形はいくつ残るでしょう?

この場合は、以下の3パターンが考えられます。

【パターン①】

【パターン②】

【パターン③】

どれも残る正方形は4つです。

 

マッチ棒を3本取り除くと正方形はいくつ残る?

次は、今回の問題になった問題1と2についてです。

マッチ棒を3本取り除くと正方形はいくつ残るでしょうか?

この場合は、以下の2パターンしかありません。

パターン1

マッチ棒3本まとめて取り除ける正方形の場所は、右上の正方形だけです。

ですから、残る正方形は5つです。

これは、問題2の答えそのものですね。

 

パターン2

マッチ棒3本取り除く方法として、前述した「1本取り除くパターン」と「2本取り除くうちの1パターン」の組み合わせしかありません。

すなわち、残る正方形は3つです。

これは、問題1と答えそのものですね。

 

マッチ棒を4本取り除くと正方形はいくつ残る?

次は、マッチ棒を4本取り除く問題の作成ですが、この場合は小さな正方形を作ることができません。

なぜ、マッチ棒4本取り除くと小さな正方形を作ることができないのでしょうか?

 

それは、マッチ棒4本取り除くと必ずマッチ棒が飛び出した状態になるからです。

理由は、このマッチ棒パズルのように、マッチ棒で正方形を次から次へとつないでいくためのマッチ棒はの数は2本もしくは3本でよいからです。

マッチ棒4本使うと必ず1本飛び出してまうのです。

 

よって、マッチ棒4本を取り除いてできるのは、真ん中のマッチ棒をすべて取り除いて作る大きい正方形だけになります。

 

マッチ棒を5本取り除くと正方形はいくつ残る?

最後に問題3で解いたマッチ棒を5本取り除いて正方形を残す問題作りです。

この場合は、「マッチ棒2本取り除くパターン」と「マッチ棒3本取り除くパターン」の組み合わせしかありません。

 

先ほど、「マッチ棒で正方形を次から次へとつないでいくためには、マッチ棒は2本か3本でよい」と書きましたね。

「1本と4本という組み合わせ」では4本がダメだというのも先の通りです。

 

そこで、まずマッチ棒3本取り除くパターンとは前に考えた2パターンのうちどちらでしょうか?(以下の図)

 

それは、パターン①の方しかありません。その結果、次の図形になりますね。

 

続いて、マッチ棒2本取り除くことになります。

まず、考えつくのが4つの角からそれぞれ2本取り除くパターンが4つありますね。

どのパターンも、残る正方形は3つです(下図)。

 

マッチ棒2本取り除いて残る正方形のパターンが他にもあります。それは、問題3のパターンです。

大きな正方形の中にあるマッチ棒をどれか2本取り除くということですね。以下の4パターンあります。

残る正方形はいずれも2つです。

 

よって、「マッチ棒を5本取り除くと正方形はいくつ残る?」という問題の答えは、3つか2つということになります。

 

この先のパズルを作ってみよう

このように考えていくと、問題作成者になった気分、数学の先生になった気分になりませんか?

このマッチ棒パズルの図形で、ここまで作成した問題は

  1. マッチ棒を1本取り除いて、4つの正方形を残してください。
  2. マッチ棒を2本取り除いて、4つの正方形を残してください。
  3. マッチ棒を3本取り除いて、3つの正方形を残してください。
  4. マッチ棒を3本取り除いて、5つの正方形を残してください。
  5. マッチ棒を5本取り除いて、2つの正方形を残してください。
  6. マッチ棒を5本取り除いて、3つの正方形を残してください。
  7. マッチ棒を1本取り除いて、3つの正方形を残してください。

ですね。

 

ここから先を考えてみましょう。 この先の問題は作れますか?

  1. マッチ棒を6本取り除いて、〇つの正方形を残してください。
  2. マッチ棒を7本取り除いて、〇つの正方形を残してください。

【ヒント】
正方形を連結していくには、マッチ棒は1本、2本、3本しかないことです。逆にマッチ棒を取り除いて正方形が残る数は?

 

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まとめ

  • マッチ棒パズルを解くもの、作るのも、どっちも楽しみましょう!

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