なぜ「aの0乗は1」なのか? – その納得の理由を紹介します

この記事ではこんなことを紹介しています

中学の数学の授業で、\(a\)の\(0\)乗は\(1\)だと教わります。

$$a^0 = 1$$

「なぜ?」「\(0\)じゃないの?」と思った経験はありませんか?

ここでは、なぜ「aの\(0\)乗は\(1\)なのか」に対して、その納得の理由をいくつか紹介します。

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なぜ「aの0乗は1」なのか?

中学校の数学で、累乗(るいじょう)というものを習います。

以下のようなものですね。

$$3^5$$

\(3\)を5乗しています。

これは、\(3\)を5回掛けることを意味します。

 

ですので、\(3^5\)を計算すると、

$$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$$

となります。

つまり、\(a\)の\(m\)乗、

$$a^m$$

は\(a\)を\(m\)回掛けたものと言えそうです。

 

では、\(m\)に\(0\)が入った

$$2^0$$

はどうでしょうか?

 

中学校では、

どんな数でも\(0\)乗すると、\(1\)である

と教わりませんでしたか?

ですので、\(2\)の0乗も\(1\)となります。

$$2^0 = 1$$

 

\(2\)の0乗ということは「\(2\)を0回掛けたもの」ということです。

「0回掛ける」ということは「何も掛けない」こととも解釈できます。

なぜそれが\(1\)になるのでしょうか?

\(2^0=0\)となってくれた方がまだ納得できる気もしますよね。

 

さて、ここでは0乗が\(1\)になる理由について、最後には必ず納得してもらえる説明をいくつか紹介します。

みなさんはどの説明が一番好きですか?

 

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規則性から0乗が1であることを知る

\(2\)の累乗を\(5\)から\(1\)まで徐々に減らしていった計算を考えましょう。

以下のようになります。

\begin{align}
2^5 & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \\
2^4 & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \\
2^3 & = 2 \times 2 \times 2 = 8 \\
2^2 & = 2 \times 2 = 4 \\
2^1 & = 2 = 2
\end{align}

 

ここで、一番上の\(32\)を一つ下の\(16\)にするには、どんな数で割ればよいでしょうか?

当たりまえですが、\(2\)で割ればよいですね。

$$32 \div 2 = 16$$

 

さらに、\(16\)をその下の\(8\)にするにはまた\(2\)で割ります。

さらにさらに、\(8\)を\(4\)にするには\(2\)で割ります。

 

というように、累乗の数を減らしていくと、その一つ下の数は\(2\)で割った数になります

このような規則性があることが分かりました。※累乗の性質を考えると当然のことではありますが…

 

では、\(2\)の\(0\)乗を考えてみましょう。

\begin{align}
2^5 & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \\
2^4 & = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \\
2^3 & = 2 \times 2 \times 2 = 8 \\
2^2 & = 2 \times 2 = 4 \\
2^1 & = 2 = 2 \\
2^0 & = ?
\end{align}

上の図から一つ下の値は\(2\)で割った数になるのですから、\(2^0\)の値は一つ上の\(2\)を\(2\)で割った値になるはずですね。

$$2^0 = 2 \div 2 = 1$$

すなわち\(2^0= 1\)が導けました。

 

これが累乗の規則性を利用した\(0\)乗が\(1\)になる説明です。

ここでは\(2\)の累乗を例に説明しましたが、もちろん、他の数字であってもまったく同じ説明で\(a^0=1\)が導けます。

 

階乗の定義を考え直してみる

今度は階乗の定義を考え直してみることで\(0\)の階乗を考えてみましょう。

 

この記事の初めにも述べたように、

\(a\)の\(m\)乗とは、\(a\)を\(m\)回掛けたもの

と定義すると考えてきました。

 

しかし、この定義だと\(2^0\)のときに、

「\(2\)を\(0\)回掛ける?……どゆこと??右辺に何もないじゃん!」

となります。

 

そこで、この定義を次のように変更してみましょう。

\(a\)の\(m\)乗とは、\(1\)に\(a\)を\(m\)回掛けたもの

「\(1\)に」という部分を付け足しました。

 

これによって、例えば\(2^3\)であれば、

$$2^3 = 1 \times 2 \times 2 \times 2$$

となります。

右辺の初めの\(1\)に注目です。

もちろん、\(1\)を掛けているだけなので、計算結果は変わりません。

 

では、\(2\)の\(0\)乗を考えましょう。

新しい定義にしたがえば、「\(2\)の\(0\)とは、\(1\)に\(2\)を\(0\)回掛けたもの」です。

よって、

$$2^0 = 1$$

となります。

右辺にはもともと\(1\)があるため、前の定義のように「右辺には何もない」ということにならないですね。

 

これが、階乗の新しい定義を考えることで\(a^0=1\)を理解する方法です。

 

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折り紙から\(0\)乗を知る

今度は、視覚的に\(0\)乗が\(1\)であることを確認してみましょう。

 

ここに、一枚の折り紙があるとします。

 

この折り紙を下の図のように半分に折ります。

 

もう一度、半分にしましょう。

これで折り紙を2回折りました。

 

では、この折り紙を広げると、下の図のように折り目がついているはずですね。

折り目によって、分割された領域の数を数えると4つです。

 

すなわち、2回折ると領域が4つになったということです。

これを数式で表すと、

$$2^2 = 4$$

となります。

 

このように折った回数と存在する領域の数は、次の式で表現できます。

$$2^{\text{折った回数}} = \text{領域の数}$$

この式は、何回折っても成立します。

気になる人は実際に紙を折ってみて確かめみてくださいね。

 

では、本題です。

折った回数が\(0\)回のとき、すなわち何も折らない状態での領域はいくつでしょうか?

何も折らない状態(最初の状態)では領域は一つですよね。

 

ということは、上の式で表現すると以下のようになります。

\begin{align}
2^{\text{折った回数}} & = \text{領域の数} \\
2^0 & = 1
\end{align}

これで\(0\)乗が\(1\)であることがわかりました。

 

視覚的に\(2^0=1\)であることを理解するための方法でした。

 

指数法則が成り立って欲しいから\(0\)乗は\(1\)にする

最後は、指数法則を使った方法です。

指数法則を覚えていますか?下のような公式ですね。中学校の数学で習います。

$$a^n \times a^m = a^{n+m}$$

 

具体的に数字を入れてみましょう。

\(a=3\)、\(n=4\)、\(m=5\)とします。すると、

$$3^4 \times 3^5 = 3^{4+5} = 3^{9}$$

です。

この式が成り立っているかどうかは、左辺のそれぞれの数を、

\begin{align}
3^4 & = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \\
3^5 & = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3
\end{align}

として、上式に代入すると、

$$3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^9$$

となり、指数法則の公式が成り立っていることがわかります。

 

さて、では指数法則

$$a^n \times a^m = a^{n+m}$$

において、\(n=0\)のときを考えてみましょう。

以下のように書き換えれます。

$$a^0 \times a^m = a^m$$

 

この式の両辺を\(a^m\)で割り、ちょちょっと計算すると、

\begin{align}
a^0 \times a^m & = a^m \\
& = \frac{a^m}{a^m} \\
& = 1
\end{align}

よって、\(a^0=1\)が現れました。

 

指数法則を考える上でも\(0\)乗は\(1\)としていた方が都合がよいのですね。

 

ここまで紹介してきたように「\(0\)乗は\(1\)」と定義しておくことで、数学的に理解しやすく、扱いやすくなります。

注意して欲しいのは、あくまで\(a^0=1\)というのは定義であって、こうなるという証明などはできません

「\(a^0=1\)としておけば、色々と都合が良さそうだ!」ということです。

 

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まとめ

  • \(0\)乗が\(1\)と定義される理由をいくつか紹介しました。
  • まずは、規則性を使った方法です。累乗の数を減らしていったとき、その計算結果は決まった数で割っていった数と一致します。これを使って\(0\)乗が\(1\)であることを知りました。
  • 二つ目は「階乗の定義」自体を考え直しました。階乗の定義に「\(1 \times\)」が掛かっていると考えることで、自然に\(a^0=1\)が納得できます。
  • 三つめは視覚的に理解する方法です。紙を折った回数とそのときにできる領域の数は\(2^\text{折った回数}=\text{領域の数}\)の関係があります。0回折った時の領域の数は\(1\)であるので\(2^0=1\)が成り立ちます。
  • 最後は、指数法則を使った方法でした。指数法則の公式を成り立たせるには、\(0\)乗が\(1\)になった方が都合がよいのです。

※コメントの反映には少し時間がかかります

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Posted by yoshi