1が連続する数(111…)に隠された面白い計算

2020年5月19日

この記事はこんなことを書いてます

“1”は正の数の始まりの数です。

この数字には様々な面白くて不思議な性質がたくさんあります。

ここでは、「何でそうなるの?」という1を使った驚きの計算を紹介しましょう。

1が連続する数には面白い計算がある

1が連続する数には面白い計算がいくつかあります。1が連続する数とは、

  • 111
  • 11,111
  • 11,111,111

などの数のことですね。

その中でも、111…を使って掛け算や引き算をしたときに起こる不思議な計算を紹介します。

 

111…×111…の不思議な答え

まずは、1が連続した数同士を掛けた場合です。二乗の計算ですね。

例えば、

$$11,111 \times 11,111 = 11,111^2$$

を計算してみましょう。1が五つ連続している五桁の数同士の掛け算ですね。

この計算をするには、電卓を使いましょう。計算結果は、

$$11,111 \times 11,111 = 123,454,321$$

となります。

答えの最も大きな桁は1から始まり、123…と増えていきます。5まで増えると、その後は543…と減っていき最後は1で終わっています。

このように、左右対称の連続した数字が現れます。

 

別の計算も見てみましょう。

$$111,111,111 \times 111,111,111 = 111,111,111^2$$

はどうでしょうか?

1が9つ連続した9桁の数同士の掛け算です。これはどうなるでしょうか?

答えは、

$$111,111,111 \times 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321$$

となります。今度は1から9まで増加して、その後1まで減少していますね。

つまり、

1が連続する数同士の掛け算の答えは、その桁数まで増加して、その後1まで減少する数が答えとなるのです。

9桁までの計算をまとめておきましょう。

\begin{align}
1 \times 1 & = 1 \\
11 \times 11 & = 121 \\
111 \times 111 & = 12321 \\
1111 \times 1111 & = 1234321 \\
11111 \times 11111 & = 123454321 \\
111111 \times 111111 & = 12345654321 \\
1111111 \times 1111111 & = 1234567654321 \\
11111111 \times 11111111 & = 123456787654321 \\
111111111 \times 111111111 & = 12345678987654321
\end{align}

 

なぜ、こんな計算結果になるの?

このように不思議な計算結果となりましたが、なぜこのような計算結果になるのかを理解するのは簡単です。

例として、

$$111 \times 111 = 111^2$$

を計算してみましょう。筆算を行います。筆算を行う過程を下の図に示します。

計算の過程で111が三つ、一桁ずつズレて並んでいますね。答えの場所には、その上にある1の個数を書けばよいです。

一番1が多く重なっているのが、真ん中です。そして、真ん中から左右にいくにつれて1の数が少なくなっていくため、答えは「12321」となるのです。

このように理由を知ってしまえば、当然の結果だと思えてきますね。

 

111…÷9の不思議な答え

次は、割り算です。1が連続した数を9で割ってみます。まず、

$$111 \div 9$$

を計算してみましょう。電卓で計算して、答えは、

$$111 \div 9 = 12 \text{ 余り } 3$$

です。では、

$$11,111 \div 9$$

はどうでしょうか?

$$11,111 \div 9 = 1234 余り 5$$

となります。

 

もうお気づきでしょうか?

1が連続した数を9で割ると、答えが1234…となり余りまで含めて1ずつ数が増える数になります。

 

1が連続する9桁の数までをまとめましょう。

\begin{align}
1 \div 9 & = \cdots 1 \\
11 \div 9 & = 1 \cdots 2 \\
111 \div 9 & = 12 \cdots 3 \\
1111 \div 9 & = 123 \cdots 4 \\
11111 \div 9 & = 1234 \cdots 5 \\
111111 \div 9 & = 12345 \cdots 6 \\
1111111 \div 9 & = 123456 \cdots 7 \\
11111111 \div 9 & = 1234567 \cdots 8 \\
111111111 \div 9 & = 12345678 \cdots 9 = 12345679
\end{align}

 

なぜ、こんな計算結果になるの?

なぜ、こんな結果になるのでしょうか?

これには、”9の割り算”の不思議が関係しているのです。

ここからは、暗算のテクニックの紹介になるのですが、例えば、

$$1321 \div 9$$

の割り算を考えてみましょう。これを暗算で解こうとすると、結構難しいですよね。

でも、”9の割り算”の暗算テクニックを使えばいとも簡単に解けてしまうんです。

 

まず、この割り算の答えが何桁になるかを予想してみましょう。

なんとなく三桁になりそうな感じですよね。

余りに関してはどうなるか分からないので、とりあえず何かしらの余りが出るとしておくと、答えは、

$$1321 \div 9 = abc \cdots d$$

と掛けるでしょう。a、b、c、dには何かしらの一桁の数字が入ります。

実は、a~dには以下の規則に従って数字が入ります。

  • aは、割られる数(1321)の一番左の数 → 1
  • bは、割られる数(1321)の一番左と二番目の数を足した数 → 1+3=4
  • cは、割られる数(1321)の一番左と二番目と三番目の数を足した数 → 1+3+2=6
  • dは、割られる数(1321)の一番左と二番目と三番目と四番目の数を足した数 → 1+3+2+1=7

よって答えは、

$$1321 \div 9 = 146 \cdots 7$$

となります。

つまり、左の数字から順に足していった数が答えとなるのです。面白いですよね。割り算が足し算だけで解けてしまうのです。

これは暗算テクニックの一つであり、「割る9の割り算の暗算のコツ – 暗算のすべて」のサイトで詳しく解説されてあります。その他にも面白い暗算方法がたくさん紹介されてありますよ!

使ってみよう

さて、話を111…に戻して、この方法を11,111に使ってみましょう。

$$11111 \div 9$$

ですね。割られる数「11111」が五桁なので、答えは四桁と余りになりそうです。

$$11111 \div 9 = abcd \cdots e$$

ですね。

解き方は、「11111」の左から順にa~eに入れていけばいいですので、

\begin{align}
a & = 1 \\
b & = 1 + 1 = 2 \\
c & = 1 + 1 +1 = 3 \\
d & = 1 + 1 +1 + 1 = 4 \\
e & = 1 + 1 +1 + 1 + 1 = 5
\end{align}

となります。これで、答えがわかりました。

$$11111 \div 9 = 1234 \cdots 5$$

そして、答えが1ずつ増えていくのは、「割る9」の計算の特徴からきているものだということもわかりましたね。

 

その他の”1″に関する雑学・トリビア

  • 古代ギリシア人は、”1″を数字と認めてませんでした。数は「集合」なので、一つしかない1は数字では無かったのです。よって、古代ギリシャでは、数字は2から始まっていました。
  • “1”は素数ではありません。
  • 1~9までの中で、世の中で一番登場頻度が高い数字は”1″です。
    この性質を使って、粉飾決済なのど不正を見破る方法も考え出されてます→「世の中は”1″がもっとも高い頻度で登場する – ベンフォードの法則」。

 

まとめ

  • 1が連続した数同士(例:11111)を掛けると、1から連続的に増えてまた減っていく答え(123454321)になる
  • 1が連続した数を9を割ると、1から順に余りまで連続した答えになる。これは、9の割り算の暗算テクニックで使われる方法である
  • “1”に関して面白い雑学やトリビアがたくさんある

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2020年5月19日数学の面白いネタ数字に関する面白いこと

Posted by yoshi