【中学1年数学(正の数・負の数)】正の数、負の数の足し算と引き算の計算はこうイメージしよう

2018年6月11日

ここでの内容は、こんな人に向けて書いています
  • 正の数・負の数の足し算や引き算がわからない
  • 負の数のイメージができない
  • どうやって計算していいのかわからない

このページでは、中学1年生のはじめのはじめに習う”正の数・負の数”の足し算(加法)と引き算(減法)についての解き方を丁寧に説明しています。

ここでは、はじめは特にイメージしづらいのが負の数です。

そこで、わたしたちの日常に登場する負の数の例を紹介して負の数はなにも特別な数ではないということを知ってください。

 

その後、数直線上に矢印を描くことで、足し算と引き算のイメージをマスターして、どんな計算でも慌てずに解けるようにしていきます。

中学1年生の数学の授業を受けている生徒向けに学校の教科書と見くらべながら、ができるように書いた数学の入門的な内容となっています。

正の数・負の数で、特に、混乱するのが負の数が登場する減法(引き算)です。

負(マイナス)の数は、教科書では、はじめて登場しますが、日常生活では、すでに負の数を体験している場面があります。

 

まずはわたしたちの身近にある負の数について、紹介しましょう。

そこで、負の数とは何かをイメージしましょう。

そのあと、負の数がでてくる計算に挑戦してみます。

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正の数と負の数ってなんだろう

わたしたちの身近にある”正(プラス)”と”負(マイナス)”

今回は、”正の数、負の数”を勉強していきます。

いきなり正の数と負の数の計算に入るのではなくて、わたしたちが身近な生活の中で実体験していることから振り返ってみましょう。

 

例えば、乾電池を使ったことがあると思います。

乾電池をよく観察するとプラスとマイナスが表示してあります。

乾電池は正(プラス)と負(マイナス)がペアで登場する身近なものですね。

 

次に、気温室温を測る温度計は、どうでしょうか?

0度を境(さかい)にして、0度以上をプラス、0度未満にマイナスを付けて温度を表現します。

冬の時期であれば、0度未満になることもあります。

寒い時期では、マイナス3度を下回る場合もあります。

 

一方、夏の時期であれば、0度以上になり、プラス30度となる場合もあります。

ただし、プラス側は、プラスを省略して、一般的に30度といいます。

ここが大切なポイントの一つですが、

プラスは省略することが多くある

ということを覚えておきましょう。

 

このように実体験の世界では、正(プラス)や負(マイナス)がすでに登場しています。

このような現実の世界にある正(プラス)と負(マイナス)の数の数をイメージしながら、学校の勉強も学んでいくと、よくわかると思いますよ。

 

正(プラス)と負(マイナス)は矢印の向きが逆

また、正の数と負の数を勉強するとき、よくイメージするのが、数直線(すうちょくせん)というものです。

数直線は下の図のように、横の軸に数値を描き、マイナスを持った定規のようなものです。

 

プラスとマイナスは0を基準にして、左右に逆向きの矢印と考えることができます。

ここからは、プラスとマイナスは向きが逆の矢印であるとイメージするようにしましょう。

 

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正の数と負の数はどうして必要なの?

正の数は、果物や硬貨などを数えるために必要な数字です。

 

では、マイナスである負の数は必要になるのでしょうか?

 

例えば、現在のもっているお金が、100円とします。

買いたい品物の値段が200円です。

この時に、足りない金額を計算する必要があります。

この不足金額は、次の通りに計算できます。

$$\text{不足金額} = 100\text{円} – 200\text{円} = –100\text{円}$$

答えの100円の前の符号”–”は、不足していることを意味しています。

つまり、

マイナスは不足していることを表現している

のです。

このようにプラスとマイナスがあるからこそ、不足しているか不足していないかを数字で判断することが可能になることが分かります。

 

正の数と負の数の記号と足し算・引き算の記号の意味は異なる

正の数は、数字の前に+(プラス)の記号をつける、または+(プラス)の記号を省略します。

【正の数の例】 \(+100 \text{または} 100\)

負の数は、数字の前に−(マイナス)の記号をつけます。

【負の数の例】 \(-100\)

 

一方、加法(足し算)の場合は、+(プラス)の記号を使います。

【足し算の例】 \(100 + 200\)

減法の場合は、−(マイナス)の記号を使います。

【足し算の例】 \(200 – 100\)

 

このように、正の数と負の数の記号と足し算・引き算の記号は、同じ記号です。

しかし、その意味は少しだけ違っているのです。

 

これが、正の数と負の数を勉強するうえで、壁を作ってしまう大きな原因となる場合があります。

ここを正しく理解すると、これからの中学生の数学を楽しく勉強できるようになりますよ。

 

正負の数の足し算・引き算について

まず、正負の数の足し算(加法)・引き算(減法)について、説明します。

正負の数の加法・減法は、次に示す2のパターンのみです。

\begin{align}
A + B & = C \\
A – B & = C
\end{align}

2つのパターンとも数字\(A\)と\(B\)の中に、正と数か負の数のどちらかが入ります。

式の中の+(プラス)の記号と−(マイナス)の記号は、加法と減法の記号になります。

 

このそれぞれの式のイメージを直線上(数直線という)で表現してみましょう。

 

\(A+B=C\)の式の意味を数直線で理解しよう

下の図に示す通りに、\(A\)と\(B\)を加法することは、\(A\)という長さの矢印と\(B\)という長さの矢印をつなげて一直線にした場合の矢印の長さになります。

解りにくい場合には、\(A\)や\(B\)に具体的な数字を入れて考えてみよう(※具体的な数字を入れた例は後から説明します)。

 

\(A-B=C\)の式の意味を数直線で理解しよう

次は、減法の記号”\(-\)”について説明します。

この減法の理解は、はじめは少し難しいかもしれませんが、とても大切なポイントになります。

減法の場合も数直線上でイメージします。

引かれる数(\(A\)という長さの矢印)と引く数を(\(B\)という長さの矢印)を直線上に配置するところまでは、加法と同じです(下の図)。

いまの引き算の式は\(B\)の前にマイナスがついています。

この場合、マイナスがついている引く数である\(B\)を直線上で逆向きにします

このように考えると、上の図に示した\(B\)の青い矢印は赤い矢印に変化します。

なぜ逆向きなるかは、以下の記事を読んでみてください。

[記事リンク]プラスとマイナスの計算の意味 – こう考えれば納得する

 

さらに、ひと工夫を加えて、赤の矢印を移動して、青の矢印の先端に合わせます。

そうすると、青の矢印と赤の矢印の重なっている部分は、プラスとマイナスが打ち消し合い、差し引き\(0\)になります。

結果として、緑色の矢印が残り、この矢印の大きさと向きが、答えのCになるのです。

この考え方は、負の数の計算を行うとき、極めて重要なポイントになります。

 

解りにくい場合には、\(A\)や\(B\)に具体的な数字をいれて考えてみましょう。

次の章で具体的な数に対する計算を紹介しています。

 

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実際の計算例で考えてみよう

より具体的な問題で正負の数に迫ってみよう。

ここで、\(A\)に数字の\(10\)と\(–10\)を入れて考えてみます。

また、\(B\)に数字の\(20\)と\(–20\)を入れて考えてみます。

 

正負の数の加法について

これで、正負の数の加法は、次のプラスとマイナスの組み合わせがすべての計算パターンとなります(4パターン)。

\begin{align}
10 + 20 \\
-10 + 20 \\
10 + (-20) \\
-10 + (-20)
\end{align}

一番はじめから順に丁寧に確認していきましょう。

 

\(10 + 20\)

$$10 + 20$$

これは、小学校でも習ってきた加法の計算ですので、すぐに計算できるでしょう。

数直線上に\(10\)と\(20\)の矢印形を描いて、この計算をイメージする練習をしましょう。

$$10 + 20 = 30$$

最初の数字\(10\)の矢印の先に、後の数字\(20\)の矢印をくっつけて新しい矢印を作っていますね。

この最終的にできた矢印が答えとなります。

これは、重要です。この後の計算も基本的にはこの操作を行えば、すべて計算できるので、必ず覚えておきましょう。

 

\(-10 + 20\)

続いて、

$$-10 + 20$$

を考えましょう。

はじめの数字に負の数が出てきました。

この問題の考え方もさっきの計算と同じです。

つまり、

最初の数字\(-10\)の矢印の先に、後の数字\(20\)の矢印をくっつけて新しい矢印を作くり、最終的にできた矢印が答え

です。

どうでしょうか?矢印の残りの部分が答えになりますので、

$$-10 + 20 = 10$$

となることがわかります。

 

\(10 + (-20)\)

$$10 + (-20)$$

これも同じです。

最初の数字\(10\)の矢印の先に、後の数字\(-20\)の矢印をくっつけて新しい矢印を作くり、最終的にできた矢印が答えです。

$$10 + -20 = -10$$

 

\(-10 + (-20)\)

最後は、両方ともマイナスのパターンですね。

しかし、やり方を変える必要はありません。今まで通りに矢印を操作しましょう。

全てマイナスの世界に数字があることがわかれば、矢印を直線上に並べることで答えが求まりますね。

$$-10 + -20 = -30$$

 

正負の数の減法について

続いて、正負の数の減法です。

次のプラスとマイナスの組み合わせがすべての計算パターンとなります(4パターン)。

\begin{align}
10 – 20 \\
-10 – 20 \\
10 – (-20) \\
-10 – (-20)
\end{align}

これも、一番はじめから順に丁寧に確認していきましょう。

正負の数の減法は、負の数のマイナスと減算のマイナスの記号の両方があって混乱しがちです。

図をよく見ながら整理していきましょう。

 

\(10 – 20\)

$$10 – 20$$

この問題は、引かれる数(\(10\))も引く数(\(20\))も両方が、正の数になっています。

この計算のイメージを下の図に描きました。

まず、\(2\)つの数字は、プラスの世界に書かれています。

その後に、減法の記号であるマイナスがあるために、\(20\)を逆方向のマイナスの世界の方向に向けています

ここが、さっきまでの加法とは違う点ですので、注意してください。

次に、最初の数の矢印の先に、後の数の後ろをくっつけています。

そうすると、残りの矢印の方向と大きさが、答えになります。

$$10 – 20 = -10$$

 

基本的な進め方は、加法のときと同じであることがわかると思います。

最初の数字の矢印の先に、後の数字の矢印をくっつけて新しい矢印を作くり、最終的にできた矢印が答え

ですね。

しかし、減法の場合は、

引く数の矢印の向きを逆にする

という操作が間に入ってきます。これをしっかり覚えて計算しましょう。

 

\(- 10 – 20\)

$$- 10 – 20$$

この引き算は、正の数(\(20\))と負の数(\(-10\))があります。

更に、減算の記号のマイナス(\(20\)の前のマイナス)があります。

大混乱しそうな問題です。

しかし、これまでと同じように、直線上に数字の大きさと矢印を描いてみると、一気に見通しが良くなります。

\(–10\)は、マイナスの世界に矢印で描いてみる。

\(20\)は、プラスの世界に矢印で描いてみる。

この計算は引き算です。つまり、引かれる数である\(20\)の矢印の向きを逆にして、マイナスの世界に描くことになります。

そして、矢印を並べると答えがでます。

この計算は、少し難しいので、図を見ながら、正の数と負の数の両方が登場する引き算の考え方を整理して進めましょう。

 

\(10 – (- 20)\)

$$10 – (- 20)$$

次もなかなか難しいですね。

図をよく見ながら確認してみよう。

まず、2つの数字を直線上に書いてみると、\(10\)がプラスの世界、\(–20\)がマイナスの世界になります。

そして、引き算のマイナスの記号があるために、引かれる数である\(–20\)の矢印が逆向きになって、プラスの世界に書くことになります。

最後に、この2つの矢印を並べると答えがでます。

$$10 – (- 20) = 30$$

 

\(-10 – (- 20)\)

$$-10 – (- 20)$$

どちらの負の数の場合の引き算ですね。

考え方は、これまでと同様です。

 

まず、2つの数字を直線上に描きます。

2つとも負の数なので、マイナスの世界に描きます。

次に、引き算ですから、引く数の\(–20\)の矢印の向きを逆にします。

すると\(–20\)は、プラスの世界に移動します。

次に、数字の大きい方の矢印を移動します。

最後に、残った矢印の向きと大きさが答えになります。

これですべての計算パターンをすべて見てきました。

どうでしたか?

特に引き算については、はじめは難しい部分もありますが、落ち着いて図をみながら計算のイメージを確認をしてくださいね。

また、教科書に書いてある正負の数と加減算のルール(公式)を確認して、計算に慣れていきましょう。

 

では、重要なポイントをまとめて終わりましょう。

重要ポイント

正の数(プラス)と負の数(マイナス)は学校で習う数学の授業に登場するものではなく、私たちの日常生活にも色々なところで登場している数である。

 

正の数と負の数の足し算と引き算は、数直線上に矢印を描いて計算のイメージをつけるとわかりやすい。

 

特に負の数が登場する計算は、はじめは難しいですが、図を自分でも描いてみて、しっかり確認しながら進めていけば必ず解けるようになります。

ここまで読んでくれてありがとうございました。


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