【中学2年数学(確率)】赤玉と白玉を使った確率の問題を攻略しよう

2018年6月11日

ここでの内容は、こんな人に向けて書いています
  • 赤玉や白玉など玉を袋から取り出す確率の問題がわからない
  • 確率の基本を勉強したい
  • 玉を使った問題とはどんな問題かをしりたい

このページでは、袋から色がついた玉を取り出す確率の問題の解き方を丁寧に解説しています。

簡単な問題を使って、確率の問題を解く上で、重要なポイントを紹介していますので、確率が苦手な人はこのページから始めましょう。

ここを理解できれば、いろんな種類の確率の問題にも強くなっているはずですよ!

玉を取り出す問題は確率の基本

ここでは、中学校で習う確率のうち、

赤玉と白玉が登場する問題

を攻略していきましょう。

 

基本的な問題を解きながら、解き方と重要なポイントを説明していきますので、しっかりと理解しながら進めていってくださいね。

では早速、例題を解いていきましょう。

 

赤玉と白玉が出る基本的な問題

まずは、一番基本となる問題からです。

次の例題にチャレンジしてみましょう。

例題①

袋の中に、赤玉が3つ、白玉が2つ入っています。

この中から1つ玉を取り出すとき、取り出した玉が赤玉である確率はどのくらいでしょうか?

この問題について考えていきましょう。

 

確率の公式は、

$$\text{確率} = \frac{求めたい条件の場合の数}{すべての場合の数}$$

です。

確率の公式に関して詳しく知りたい方は、以下のページをご覧ください。

 

では、まずは”すべての場合の数”から求めましょう。

玉を1個だけ取り出すとき、5個の中から1つだけ選びます。

以下の図のように、玉に番号を振るとわかりやすいですね。

この中から1個を選ぶのです。

よって、”すべての場合の数”は、

$$\text{すべての場合の数} = 5通り$$

 

ここで、注意しなければいけないのは、すべての場合の数を、

  1. 赤い玉
  2. 白い玉

の2通りとすることです。

 

これは間違いです。

確率を考える上で重要なポイントは、

すべての玉を区別して考える

ということです。

 

しかし、赤い玉と白い玉の2通りと考えることは、3個の赤い玉を1つとして考え、同じように2個の白い玉を1つとして考えており、区別して考えていないのです。

区別して考えるには、前に述べたように玉に番号を付けて、全部の玉を別の物として考えましょう

 

すべての場合の数がわかったので、次に”求めたい条件の場合の数”を調べましょう。

”求めたい条件の場合”とは、いまの場合、赤い玉が出る場合です。

 

これは、玉に描いた番号でいうと、3、4、5番の3つです。

よって、求めたい条件の場合の数は、

$$\text{求めたい条件の場合の数} = 3通り$$

となります。

 

最後にこれらを確率の公式に入れると、

\begin{align}
\text{赤玉を取り出す確率} & = \frac{求めたい条件の場合の数}{すべての場合の数} \\
& = \frac{3}{5}
\end{align}

となり、答えは、\(\frac{3}{5}\)となります。

 

ここまではオッケーですか?

わからない人は、どこがわからないかをコメントで教えてくださいね。

 

玉を2つ取り出す場合の問題

さっきの問題は玉を1個だけ取り出しました。

今度は、玉を2個取り出すときの問題にチャレンジしてみましょう。

次の問題を考えます。

 

例題②

袋に、白玉が2個、赤玉が3個入っています。

この中から2個の玉を同時に取り出すとき、白玉が1個と赤玉が1個になる確率を求めなさい。

 

前の問題と袋の中の玉の状況は一緒です。

しかし、今回は1個ではなく2個の玉を取り出す問題となっています。

 

確率の問題を解くときの便利な道具に”樹形図”というものがあります。

ここでは、樹形図を使って問題を解いていきましょう。

「樹形図って何?」という人は、まずは以下のページから読んでみてくださいね。

 

まず、樹形図を描く前に、玉を区別しやすくしましょう。

覚えてますか?

確率の問題では、玉は区別して考えるのでしたね。

そのために、印を下の図のようにつけます。

白い玉を数字で、赤い玉をアルファベットを使って印をつけました。

では、この印を使って樹形図を描いていきましょう。

 

玉は2個取り出すので、2つの枠を用意します。

まずは、①の玉から始まる場合は、

となります。

 

これをすべての玉について描くと、

となります。

すべての場合の数は、

$$\text{すべての場合の数} = 4 \times 5 =20$$

と20通りであることがわかりました。

 

では、この中から赤玉と白玉は1個ずつとなる場合は、どの場合でしょうか?

樹形図を使って数えると、

となり、全部で

$$\text{赤玉と白玉は1個ずつとなる場合の数} = 3+3+2+2+2 = 12$$

12通りとなります。

 

これより、確率の公式を使って、

\begin{align}
\text{取り出した玉が赤玉1個と白玉1個である確率} & = \frac{赤玉と白玉は1個ずつとなる場合の数}{すべての場合の数} \\
& = \frac{12}{20} \\
& = \frac{3}{5}
\end{align}

取り出した玉が赤玉1個と白玉1個である確率は\(\frac{3}{5}\)となります。

 

袋から玉を取り出す確率の問題を解くときに、重要なのは、

  • 玉を区別して考える
  • 樹形図を使って場合の数をかぞえる

これは、他の確率の問題を解くときも同じですので、しっかりと覚えましょう。

 

まとめ

袋から玉を取り出す問題は、中学の確率ではよく登場します。

なので、ここで学んだことをしっかりと理解できれば、解ける問題がたくさん増えるでしょう。

 

ここで学んだことは、袋から玉を取り出す問題だけでなく、確率の問題すべてに共通する重要なことばかりです。

必ず、理解できるようになりましょう。

わからなかった人は、下のコメント欄から質問してくださいね。

 

では、最後にもう一度、重要なポイントを復習して終わります。

重要ポイント

玉を取り出す問題は、玉を区別して考えることが重要である。

これは、他の確率の問題でも同じである。

 

確率は、場合の数を求めれば、あとは公式に代入するだけで解ける。

場合の数は、樹形図を使って求める。

それでは、また会いましょう。


※コメントの反映には少し時間がかかります

2018年6月11日中学数学, 確率

Posted by yoshi