乗法公式の覚え方 – 4つの乗法公式を簡単に覚える方法
- 乗法公式を覚えたい・覚え方を知りたい
- 乗法公式を使って、もっと早く式を計算できるようになりたい
- 覚えた乗法公式を使って計算問題の解き方を学びたい
このページでは、乗法公式の簡単な覚え方を紹介します。
私は公式の暗記が苦手で、式の計算はいつも力技で解いていました。
しかし、公式を覚えれば解くスピードはかなり早くなります。
それによってできた時間を他の問題を考える時間に使うこともでき、一石二鳥です。
私が覚えた公式の覚え方を紹介しますので、ぜひ参考にしてくださいね。
4つの乗法公式の覚え方を紹介
中学三年生で学ぶ、乗法公式は次の4つがあります。
\begin{align}
(x+a)(x+b) & = x^2+(a+b)x+ab \\
(a+b)^2 & = a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2 & = a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b) & = a^2-b^2
\end{align}
学校では、これらの公式を暗記するように言われますが、なかなか覚えにくいものですよね。
「覚えなくとも力技で解けてしまうから覚えなくてもいいや！」という人もいるでしょう。
私もそんな生徒の一人でしたが、覚えた方が計算が早いのも事実です。
そこで、ここでは乗法公式を楽に暗記するための覚え方を紹介します。
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\((x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab\)を覚える
まずは、この4つの公式の中でももっとも基本の公式である、
$$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$$
の覚え方から説明していきます。
まず、\((x+a)(x+b)\)を展開（計算）すると、3つ項が出てくることを覚えましょう。
例えば、実際の計算の例を出すと、
$$(a+2)(a+3) = a^2 + 5a + 6$$
となり、計算結果は三つの項からなっていますね。
式で書くと次のようなイメージです。
$$\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc$$
これは、ここでわざわざ言わなくても「そんなのはわかってるよ」って人も多いかもしれません。
次に、\((x+a)\)と\((x+b)\)に共通して登場する\(x\)に注目しましょう。
この\(x\)が左から2つ、1つ、0つというふうに、さっきの3つの項のイメージの式に入ります（下の式）。
$$\bigcirc x^2 + \bigcirc x + \bigcirc$$
\(x\)の次数が左からだんだん小さくなりながら、○にくっ付いていくと覚えればよいですね。
最後の項（一番右の項）には\(x\)は付かないですが、これは\(x\)の次数が0であると考えれば、納得です。
あとはこの○を\(a\)と\(b\)を使って埋めればいいのですが、ここが一番覚えにくいところでもあります。
そこで、次の合言葉を覚えましょう。
なかまわ、みぎのせき(仲間は、右の席)
（「乗法公式が4つも覚えられない！そんな時の裏技」さんのサイトで紹介されており、「これいいなぁ」と思いました）
これが何を意味しているのかというと、
$$\bigcirc x^2 + \bigcirc x + \bigcirc$$
の○の中に入る\(a\)と\(b\)の関係を表しているんです。
まず、「なかまわ（仲間は）」は、
- なか \(\rightarrow\) 中
- わ \(\rightarrow\) 和
を意味しています。「中ま和」となります。
なか（中）は、真ん中の○のことです。
そして、わ（和）は、真ん中の○に\(a\)と\(b\)の和（足し算）を書けということです。
つまり、
$$\bigcirc x^2 + (a+b) x + \bigcirc$$
となります。
次は、「みぎのせき（右の席）」ですが、
- みぎ \(\rightarrow\) 右
- せき \(\rightarrow\) 積
としましょう。「右の積」となります。
みぎ（右）は、右の○のことです。
そして、席は、右の○に\(a\)と\(b\)の積（掛け算）を書けということです。
つまり、
$$\bigcirc x^2 + (a+b) x + ab$$
となります。
では、一番左の○はどうなるでしょう。
合言葉に出てきていないこの○には、何もいれなくてよいです。
これで、乗法公式の、
$$x^2 + (a+b) x + ab$$
が導けました。
合言葉の「仲間は、右の席（なかまはみぎのせき）」を覚えておけば、公式を思い出せること間違いなしです。
覚え方の手順
最後に、もう一度覚え方の手順を復習しておきましょう。
- \((x+a)(x+b)\)を展開すると、項数は3つになる → \(\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc\)
- \(x\)を次数を減らしながら、左から配置していく → \(\bigcirc x^2 + \bigcirc x + \bigcirc\)
- 「なかまはみぎのせき」を思い出し、\(a\)と\(b\)を配置する → \(x^2 + (a+b) x + ab\)
練習問題
では、覚えた公式で次の問題を解いてみましょう。
$$(x+4a)(x+7)$$
乗法公式は、
$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b) x + ab$$
でしたね。
まず、\((x+4a)(x+7)\)で共通している\(x\)を配置します。
$$\bigcirc x^2 + \bigcirc x + \bigcirc$$
次に、「仲間は、右の席（中ま和、右の積）」を思いだし、\(a\)と\(b\)の代わりである\(4a\)と\(7\)を配置していきましょう。
\begin{align}
x^2 + (4a+7) x + (4a \times 7) & = x^2 + (4a+7) x + 28a
& = x^2 + 4ax+7 x + 28a
\end{align}
これで完成です。簡単だったでしょ？
残りの乗法公式を覚えるのはさらに簡単です。
以下で順に説明していきましょう。
\((a+b)^2 = a^2+2abx+b^2\)を覚える
次に、
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
を覚えましょう。
ここでの合言葉は、
「前と後ろの2乗で、全部掛けをサンドウィッチ」
です。
どういうことでしょうか？
まず、\((a+b)^2\)で使われている数字と文字をすべて掛けます。
使われてる数字と文字は、
$$a, \quad b, \quad 2$$
ですね。
この3つを全部掛けます。
すると、
$$a \times b \times 2 = 2ab$$
です。
そして、この\(2ab\)を\((a+b)^2\)の前と後ろの\(a\)と\(b\)の2乗でサンドウィッチしましょう。
$$a^2, \quad 2ab, \quad b^2 \quad \rightarrow \quad a^2 + 2ab + b^2$$
最後は足し算でつないでいます。
これで公式、
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
を覚えてしまいましょう。
下のような絵を頭の中でイメージして覚えるとよいですよ。
言葉で表現すると、
「前と後ろの2乗で、全部掛けをサンドウィッチ」
ですね。
練習問題
ここで覚えた乗法公式、
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
を使った計算を練習してみましょう。
次の計算を乗法公式を使って解いてみます。
$$(2x + 3)^2$$
まず、登場する数字と文字をすべて掛けましょう。
$$2x \times 3 \times 2 = 12x $$
次に、$12x$を前と後ろの2乗、
\begin{align}
2x^2 & = 4x^2 \\
3^2 & = 9
\end{align}
でサンドウィッチします。
つなぎは足し算ですね。
$$4x^2 + 12x + 9$$
これで答えが求まりました。
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\((a-b)^2 = a^2-2abx+b^2\)を覚える
続いて、
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
です。
これはさっき覚えた、
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
と似たような形をしていますね。
なので、これも
「前と後ろの2乗で、全部掛けをサンドウィッチ」
と覚えます。
違うのは、マイナスがついているだけです。
なので、前回覚えた公式から、
”真ん中のプラス（\(+\)）が、マイナス（\(-\)）になる”
と覚えましょう。
練習問題
では、練習問題です。
次の計算を上で覚えた公式を使って解いてみましょう。
$$(a-6x)^2$$
「前と後ろの2乗で、全部掛けをサンドウィッチ」
なので、まず前(\(a\))と後ろ(\(-6x\))の\(2\)乗を計算します。
\begin{align}
a^2 & = a^2 \\
(6x)^2 & = 36x^2
\end{align}
次は、”全部掛け”です。
使われている数字を全部掛けて、
$$a \times 6x \times 2 = 12ax$$
となります。
後は、全部掛けの\(12ax\)を\(2\)乗したものでサンドウィッチして、
$$(a-6x)^2 = a^2 – 12ax + 36x^2$$
となります。
左辺の式の真ん中がマイナスなので、右辺の真ん中もマイナスであることに気を付けてくださいね。
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)を覚える
さて、最後に覚える乗法公式は、
$$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
です。
これの覚え方は…
エビ！、エビ！、二尾！、二尾！
です！
ふざけてません。
私はこうやって覚えました。
忘れたときは、上のイメージ画像を思い出してください。
そうすれば、必ず、この公式を思い出すことができるはずです。
もうこの公式には、これ以上言うことはありません。
練習問題
次の計算問題を解いてみましょう。
$$(a+4b)(a-4b)$$
この計算式を見て、「エビ、エビ」の形であることがすぐにわかったのであれば、もう計算は解けたようなものです。
答えの「二尾、二尾」の方を書きましょう。
\begin{align}
(a+4b)(a-4b) & = a^2 – (4b)^2 \\
& = a^2 – 16b^2
\end{align}
となります。
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まとめ
ここでは、4つの乗法定理、
\begin{align}
(x+a)(x+b) & = x^2+(a+b)x+ab \\
(a+b)^2 & = a^2+2ab+b^2 \\
(a-b)^2 & = a^2-2ab+b^2 \\
(a+b)(a-b) & = a^2-b^2
\end{align}
の覚え方を紹介しました。
絶対にここで紹介した方法で覚えなければいけないということはありません。
自分の覚えやすい方法で覚えるのが一番よいと私は思います。
もし、ここでの覚え方が気に入って、使ってくれればうれしいです。
では、最後に覚え方を復習して終わりましょう。
$$(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab$$
を覚えるための3ステップは、
- \((x+a)(x+b)\)を展開すると、項数は3つになる → \(\bigcirc + \bigcirc + \bigcirc\)
- \(x\)を次数を減らしながら、左から配置していく → \(\bigcirc x^2 + \bigcirc x + \bigcirc\)
- 「なかまはみぎのせき」を思い出し、\(a\)と\(b\)を配置する → \(x^2 + (a+b) x + ab\)
でした。
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
の覚え方は、
”前と後ろの2乗で、全部掛けをサンドウィッチ”
でしたね。
$$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
の覚え方は、\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\)と同じですが、右辺と左辺のプラス（\(+\)）がマイナス（\(-\)）に変わります。
最後に、
$$(a+b)(a-b) = a^2-b^2$$
の覚え方は、
エビ！、エビ！、二尾！、二尾！
ですね。
では、みんなが公式を覚えることができることを願っています。