面積が変わる不思議な図形?この謎が解けますか?

2020年5月19日

この記事はこんなことを書いてます

例えば、一枚の折り紙があったとします。これをハサミで自由に切って面積を減らすことはできるでしょうか?

ほとんどの人が「いいえ」と答えるはずです。

しかし、ここに面積が変わる不思議な図形があります。それは、ハサミで切ってそのパーツを並びかえるだけで、どんどん面積が減っていくのです。

そんな魔法のような図形を紹介しましょう。

面積が変わる不思議な図形

ここでは、面積が変わる不思議な図形を紹介しましょう。

その図形はある操作を行うことで、どんどん面積を小さくしていくことが可能なのです。

 

そんな不思議な図形とは下のような図形です!

…そうです、普通の直角三角形です。

どうやって、「この普通の三角形の面積を小さくできるはずがない」と思いますか?

では、実際にこの図形の面積を小さくしてみせましょう。まずは、三角形を下の画像のように、4つの部分に分割します。それぞれの部分は色分けしています。

この分割した部分を移動させることで、三角形の面積が変わるのです。これを図形Aとしましょう。

まずは、それぞれのパーツを分解すると、

となります。

改めてパーツを組み立てていきましょう。まずは、緑の部分は元の場所におきます。

次に、黄色いパーツを図形Aの場所から左下へ移動させて配置します。

そして、青い三角形のパーツをこの黄色の左側面にくっ付けるようにして、配置します。

最後に黄色と緑のパーツの上に、大きな赤い三角形のパーツを置くと、

となります。これを図形Bとします。

初めの図形Aと図形Bを並べて描いてみましょう。

縦と横の長さは一緒のようです。あれっ?ちょっとまってください。

図形Bの方は三角形の下の部分に一マス分だけ空白がありますね。

ということは、図形Aよりも図形Bの方が、この一マス分だけ面積が小さいということでしょうか?

でもそんなことは不可能なような気がします。

でも三角形の底辺と高さは変わらないですし…各パーツの大きさを何度確認しても同じ面積ですし…

何だか狐につままれたような気分ですね。

 

面積の変わる三角形のタネ明かし

これが本当ならどんどん三角形の面積は減っていってしまいます。

でも、私たちはそんなことは現実ではあり得ないことを知っていますよね。

そうです。もちろんタネがあるのです。では、タネ明かしをしていきましょう。

 

図形Aと図形Bは本当に面積が違うのでしょうか?

いえ、実は一緒なのです。なので、面積は変化なんてしていません。

それは図形Aと図形Bの外郭を重ねてみると分かります。

図形Aを青色で、図形Bを赤色で描いています。

二つの図形でズレがある部分を矢印で示していますが、黄色の矢印部分は明らかですね。

しかし、緑の矢印で示した部分にも実は小さなズレがあるのです。この緑の矢印部分のズレが黄色の矢印部分のズレと同じになっており、結局二つの図形の面積は変わっていなかったというわけです。

分かりにくいので、この二つの形を極端に表現すると、

となっているということですね。

つまり、初めに三角形と言って紹介した図形は正確には、三角形ではなかったということです。すみません。

これに気付くには、分解したパーツの二つの三角形の傾きを調べてみれば分かります。もう一度、分解した各パーツの三角形を示しておきましょう。

それぞれの三角形の傾きを調べてみると、

となり、それぞれの三角形の傾きは、

  • 赤 → 傾き=3/8=0.375
  • 青 → 傾き=2/5=0.4

と、微妙に違っていたのです。

これで、謎が解けましたね。やっぱり、どんなに切ってパーツを移動させても図形の面積を変えることなんてできないのです。

 

まとめ

  • 面積の変わる図形、それは普通の直角三角形
  • いくつかのパーツに分解して組み立てなおすと面積が小さくなっている
  • タネは斜辺の角度が微妙に違っていたことが原因
  • やっぱり、面積が変わる図形なんてない!

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2020年5月19日記憶術図形に関する面白いこと, 数字記憶術

Posted by yoshi