【高校数学(確率)】玉が登場する確率問題の解き方

2018年9月24日

このページは、このような人へ向けた内容となっています
  • 玉が登場する確率がイマイチ理解できない人
  • 玉の取り出し方の違いで、解き方がどう変わるのかを知りたい
  • 玉を使った確率の問題に慣れたい

高校で習う確率は実生活にも必要とされる知識です。

知っていると知らないでは普段の生活での損得にも影響するので、しっかりと学んでほしい分野でもあります。

このページでは、確率でよく題材にされる玉の確率問題を取り上げ、問題のパターンに慣れてもらうことを目標とします。

テストで確率の問題に玉が出てきたときは、ここで学んだことを思い出してくださいね。

では、頑張り過ぎないで学んで行きましょう。

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確率の考え方

まずは確率の基本的な考え方から学んでいきましょう。

ある事象Aがおこる確率をPとするとその値は、P(A)と表すことができます。

P(A) = 事象Aが起こる確率

 

P(A)の求める公式は以下になります。

$$P(A) = \frac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数}$$

言葉の定義だけだと分かりづらいですよね。

以下では実際の問題を解きながら、この公式が意味するところを丁寧に説明していきます。

 

確率の問題は、公式に当てはめれば解ける分野ではありません。

自分の頭でしっかりと理解することが重要です。

ゆっくりでいいので人に説明できるくらいまで理解しましょう。

 

では、例題を解いてみましょう。

玉が登場する確率の問題です。

 

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玉が登場する確率の問題の解き方

中学確率の復習問題①

例題①

赤玉1個、白玉1個、青玉1個の計3個の玉が袋に入っています。

この袋から1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率を求めよ。

袋の中には、色違いの玉が合計で3個入っています。

この袋から玉を取り出す全ての場合の数は3になりますよね。つまり、

起こりうる全ての場合の数 = 3

です。

よって、公式の分母は3になります。

 

次に、公式の分子を考えましょう。

球を取り出したら赤玉である場合の数は1です。赤玉は1個しか入っていませんからね。

この「赤玉を取り出す場合」というのが、公式の「事象A」に対応します。

つまり、分子は1になります。

 

最後に確率の公式に代入して、

$$P(A) = \frac{事象Aが起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{1}{3}$$

となります。

このように、3個の玉が入っている袋から1個の玉を取り出すとき、それが赤玉である確率は\(\frac{1}{3}\)になりました。

 

中学確率の復習問題②

では、数を増やして見ましょう。

例題②

赤玉3個、白玉2個、青玉3個、計8個の玉が袋に入っています。

この袋から1個の玉を取り出すときそれが赤玉である確率を求めよ。

袋の中には、玉が合計で8個入っています。

 

この袋から玉を取り出す全ての場合の数は8通りです。

つまり分母は8になります。

 

次に、球を取り出すとき、その玉が赤玉である場合の数は3通りです。

赤玉は3個入っていますからね。

つまり、分子は3になります。

 

最後に確率の公式に代入して、

$$P(A) = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{1}{3}$$

となります。

よって、8個の玉が入っている袋から3個の玉を取り出すときそれが赤玉である確率は\(\frac{3}{8}\)になります。

 

ここまでは大丈夫でしょうか?

ここまでは、中学生で習う確率の復習でした。

ここから本番ですよ!

 

コンビネーション\(_nC_r\)を使った確率の問題

では、組み合わせ\(_nC_r\)(コンビネーション)を使った問題に移ります。

組み合わせについてわからない人はこちらの記事をどうぞ↓

[ブログカード]

 

では、いきましょう。

 

すべて白玉である確率

例題③

赤玉3個、白玉4個入っている袋があります。

袋から玉を2個取り出すとき、全て白玉である確率を求めよ。

袋の中には、玉が合計で7個入っています。

 

7個から2個の玉を取り出すので、求める全ての場合の数は、

$$\text{7個から2個の玉を取り出す全ての場合の数} = {}_7C_2$$

となります。

\(n\)個の中から\(r\)個を選ぶ場合の数は\({}_nC_r\)となります。

 

計算すると、

$${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$$

となります。

コンビネーション\({}_nC_r\)の計算を簡単に復習

コンビネーション\({}_nC_r\)の計算は、以下のようにしてできます。

例として、\({}_5C_3\)を計算してみましょう。

まず、分数を考えます。そして、その分母に\(3\)を\(1\)ずつ減らしながら、\(1\)になるまで掛け算しましょう。

$$\frac{?}{3 \times 2 \times 1}$$

三つの数字が掛け算されていますね。

 

次に、分母には\(5\)を\(1\)ずつ減らしながら掛け算してきます。

ただし、このときに掛け算する数字の数は分母と同じ三つです。

$$\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$$

 

あとは、これを計算して、

$$\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$$

となります。

 

コンビネーションの計算には、計算を簡単にするコツがあります。

詳しくは、以下のページをご覧ください↓

[ブログカード]

 

よって、全ての場合の数は21通りになります。確率の公式の分母が21だということですね。

 

次は、公式の分子を考えていきましょう。

袋の中には白玉が4つ入っていて、その中から2つとります。

 

したがって、求める場合の数は\({}_4C_2\)です。

$${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$

分子は6ですね。

 

よって、求める確率は、

$$\frac{{}_7C_2}{{}_4C_2}  = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$$

となります。

 

白玉と赤玉である確率

次は、違う玉の色が出る確率問題です。

例題④

赤玉3個、白玉4個入っている袋があります。

袋から玉を2個取り出すとき、取り出した玉が赤玉と白玉である確率を求めよ。

袋の中の玉は例題③と同じです。

そこから玉を2個取り出すので、全ての場合の数は例題③と同じく21通りになります。

 

次に、取り出した玉が赤玉と白玉を一個ずつ取る場合を考えます。

このときは、それぞれの色を1つずつ考えましょう。

 

まず、赤玉は全部で3個入っています。

3個の中から1つを選び袋から取るので、赤玉の選び方は、

$${}_3C_1 = \frac{3}{1} = 3$$

となります。

 

次に、白玉は全部で4個入っています。

4個の中から1つを袋から取るので、白玉の選び方は、

$${}_4C_1 = \frac{4}{1} = 4$$

となります。

 

赤玉と白玉を取る事象は同時に起こりえるので、二つの事象の場合の数を掛け算します。

ここでいう”同時に起こる”とは、二つの玉を引いたときに一つが赤い玉、もう一つが白い玉であるというように一つの条件となっているということです。

すなわち、

$${}_3C_1 \times {}_4C_1 = 3 \times 4 = 12$$

となり、12通りとなります。

$$\text{取り出した玉が赤玉と白玉を一個ずつ取る場合の数} = 12 \text{通り}$$

 

よって求める確率は、

$$P = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$$

となります。

 

ここまでが、玉を同時に取る場合でした。

次は、色々な玉の取り方を考えてみましょう。

 

同時にとる、取った玉を戻さずにとる、取った玉を戻してとるときの確率

最後は、色々な玉の取り方について確率問題を考えましょう。

次の例題を解いてみます。

例題⑤

赤玉3個 , 白玉2個の合計5個の玉が入った袋がある。ここから3個の玉を取り出すとき、次の問いに答えよ。

問題1.3個の玉を同時にとるとき、赤玉2個と白玉1個が出る確率を求めよ。

問題2.1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率を求めよ。

問題3.個ずつとるとき、取った玉を袋に戻し、赤-白-白 の順で玉が出る確率を求めよ。

 

問題1.玉を同時にとるパターン

問題は、

3個の玉を同時にとるとき、赤玉2個と白玉1個が出る確率を求めよ。

でした。

 

まずは、玉を同時にとる場合です。これは、ここまで見てきたものと同じですね。

 

袋には玉が5個入っています。

その中から3個取り出すので全ての場合の数は

$${}_5C_3 =\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10\text{通り}$$

です。

 

次に、取り出した玉が赤玉2個、白玉を1個である場合を考えましょう。

まず、赤玉は全部で3個入っています。

3個の中から2つを袋から取るので、

$${}_3C_2=\frac{3 \times 2}{2 \times 1}=3\text{通り}$$

となります。

 

一方、白玉は全部で2個入っています。

2個の中から1つを袋から取るので、

$${}_2C_1=\frac{2}{1}=2\text{通り}$$

となります。

 

取り出した玉が赤玉2個、白玉を1個である場合を考えるには、二つの事象の場合の数を掛け算しますので、

$$3 \times 2=6\text{通り}$$

です。

 

最後に、確率の公式に当てはめて、

$$P = \frac{事象が起こる場合の数}{起こりうる全ての場合の数} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

とし、答えは\(\frac{3}{5}\)となります。

 

問題2.玉を戻さず、順番に取るパターン

問題は、

1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率を求めよ。

でした。

 

前と同じような問題ですが、順番が関係してくるので違う考え方が必要になります。

 

まず、1個目の玉を取り出す場合を考えます。

1個目の玉を取り出すとき、袋には玉が5個入っています。

その中に赤玉は3個入っているので、1個目の玉が赤玉である確率は\(\frac{3}{5}\)となります。

$$\text{1個目の玉が赤玉である確率} = \frac{3}{5}$$

 

次に、2個目の玉を取り出す場合を考えます。

2個目の玉を取り出すとき、1個目の玉は袋に戻しません

つまり、袋には玉が4個しか入っていない状態です。

 

その中に赤玉は2個入っているので、2個目の玉が赤玉である確率は、\(\frac{2}{4}\)となります。

$$\text{2個目の玉が赤玉である確率} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

 

最後に3個目の玉を取り出す場合を考えます。

3個目の玉を取り出すとき、1,2個目の玉は袋に戻しません。

つまり、袋には玉が3個入っています。

ここで注意する点は、袋の中に白玉は2個だけしか入っていないということです。

 

3個目の玉が白玉である確率は、\(\frac{2}{3}\)となります。

$$\text{3個目の玉が白玉である確率} = \frac{2}{3}$$

 

これで、1,2,3回目のそれぞれの確率について求め終わりました。

これらの事象は同時に起こりえるので、三つの事象の場合の数を掛け算することで、全体の事象の確率が求まります。

よって、「1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻さず、赤-赤-白 の順で玉が出る確率」は、

$$\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$$

となり、答えは\(\frac{1}{5}\)です。

 

問題3.玉を戻すパターン

問題は、

1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻し、赤-白-白 の順で玉が出る確率を求めよ。

でした。

 

問題2.と違う点は、取り出した玉を袋に戻す、ということ!

これによって、解き方がどのように変わるかを注意して進めましょう。

 

まず、1個目の玉を取り出す場合を考えます。

1個目の玉を取り出すとき、袋には玉が5個入っています。

その中に赤玉は3個入っているので、1個目の玉が赤玉である確率は\(\frac{3}{5}\)となります。

ここは、前回から変わった点はありませんね。同じです。

 

次に、2個目の玉を取り出す場合を考えます。

2個目の玉を取り出すとき、1個目の玉は袋に戻します。

そのため、袋には玉が5個入っています。1回目に取り出したときと同じ玉の数です。

ここが、前回とは違う点ですね。

 

5個の中に白玉は2個入っているので、2個目の玉が白玉である確率は

$$\text{2個目の玉が白玉である確率} = \frac{2}{5}$$

となります。

 

最後に3個目の玉を取り出す場合を考えます。

3個目の玉を取り出すとき、1,2個目の玉は袋に戻してあるので、袋には玉が5個入っています。

白玉はそのうち2個入っているので、3個目の玉が白玉である確率は\(\frac{2}{5}\)となります。

$$\text{3個目の玉が白玉である確率} = \frac{2}{5}$$

 

最後、全ての事象を掛け算して、「1個ずつとるとき、取った玉を袋に戻し、赤-白-白 の順で玉が出る確率」を求めると、

$$\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{12}{125}$$

となります。

 

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まとめ

以上で終了です。

ここでは、玉が登場する確率の基本的な問題を解説しました。

もっとたくさんの問題がテストでは出題されますが、まずはここで説明したことをしっかりと理解することから始めましょう。

 

最後に大事なことをまとめて終わります。 

  • 玉を使った問題も、他の確率の問題と同じように、確率の基本公式に当てはめて求めていく
  • 組み合わせの計算には、コンビネーション\({}_nC_r\)を使う
  • 玉を戻すか戻さないかで解き方が変わってくるので注意する

※コメントの反映には少し時間がかかります

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