モンティ・ホール問題を分かりやすく解説します – 絶対納得して欲しい!

2018年2月20日

この記事はこんなことを書いてます

ここでは、モンティ・ホール問題についてできるだけ分かりやすく解説していきたいと思います。

モンティ・ホール問題は問題自体は誰でも理解できるくらい簡単なものですが、その答えは数学者ですら間違ってしまうほど直観的には理解しにくいものです。

私自身、答えに納得するまでにかなり時間がかかりました。しかし、考えていくうちに必ず自分が納得できる説明にたどり着くことができると考えています。

ここを訪れてくれたみなさんが、問題を理解し答えに納得できるように問題に対する様々なアプローチの方法を丁寧に紹介していきます。

この記事を読み終わったとき、みんさんが「モンティ・ホール問題が理解できた!」と思ってくれることを目指します。

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世界を震撼させたモンティ・ホール問題

”モンティ・ホール問題”とは、全米、いや世界を震撼させた数学の確率の問題です。

なぜ世界が震撼したのか?それは、

数学者じゃない普通の人にも分かるほど問題が単純なのに、数学者でも間違ってしまう

という不思議で面白い問題だったからです。

この問題は、はじめアメリカのテレビ番組で放映されました。その時の司会者をモンティ・ホール氏が務めたため、”モンティ・ホール問題”という名前がつけられています。

どんな問題なのでしょうか?

はじめに問題を紹介します。もう知っている人ももう一度確認しておきましょう。問題自体は誰でも理解できるとても簡単なものです。

モンティ・ホール問題はどんな問題?

アメリカのテレビ番組で、司会者のホール氏と挑戦者の二人がいます。※読者の方は挑戦者になったつもりで読み進めてくださいね。

 

モンティ・ホール問題

挑戦者の前に三つのドアが現れます。下の画像のようなドアです。

この三つのドアの向こう側には、車が一台とヤギは二頭のどれかがあります。ただし、どのドアの向こうに車もしくはヤギがあるかは挑戦者には分かりません。司会者のホール氏は知っています。

挑戦者はこのドアの中から一つを選んで、それが車の場合にだけその車を手に入れることができます。

まず、挑戦者は何の情報も与えられずに、一つのドアを選びます。

ここで終わりではありません。挑戦者がドアを選んだら、司会のホール氏は残り二つのドアからヤギのドア(ハズレ)を選んで開けてみせます。※必ず、ハズレを開けます。

これでハズレのドアは一つ開かれたので、車のドア(アタリ)は今挑戦者が選んでいるドアか、残りの一つのドアということになります。上の画像でいうと、一番左か真ん中のドアが当たりです。

ここで、ホール氏は挑戦者に、

「今選んでいるドアをもう一つのドアに変えますか?それとも、今のドアのままでよいですか?」

と最後の質問をします。

さて、車を手に入れるためには、挑戦者のあなたはドアを変えたほうがよいでしょうか?それとも変えなくてもよいでしょうか?

 

これがモンティ・ホール問題です。数学の確率の問題ですね。

正解は?

どうでしょうか?みなさんはドアを変えますか?変えませんか?

私がはじめてこの問題を知ったときは、

「ドアを変えても変えなくても確率は1/3なので、変える意味はないな」

と思いました。

だって、司会のホール氏はハズレのドアを開けた行為は、私がドアを選択した行為に何も影響を与えていないのですから、他のドアを選んだ可能性だって1/3のはずです。

ホール氏のドアを開ける行動は、何の意味もない行動であると判断したのです。

しかし、正解は、

「ドアを変えた方がよい。なぜなら、ドアを変えない場合は当たる確率が1/3なのに対して、ドアを変えると当たる確率が2/3になり二倍になるから」

です。

この問題、直感的に分かる人には分かってしまうようなのですが、私は説明を聞いてもこのようになる理由を納得できるまでかなり時間がかかりました。

みなさんはどうでしたでしょうか。

世界最高のIQの持ち主マリリンの苦悩

少し脇道にそれますが、この問題がアメリカのテレビ番組に放送されてから、マリリン・ボス・サバントという女性が、

正解は「ドアを変更する」である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ

と雑誌のコラムに掲載しました。マリリン・ボス・サバントは、世界でもっとも知能指数(IQ)の高い人物としてギネス記録に認定されたことがある人物ですが、数学者ではありません。

前に書いたとおり、マリリンの回答は正解なのですが、世界からは彼女に対して、厳しい反論と避難の声が上がります。

その中には、かなり厳しく彼女を非難するものもいました。以下はその一部です。

  • 「わたしはプロの数学者として、一般の人々の数学的知識がこんなにも低いと思っていなかった。あなた(マリリン)は自分の間違いを認める事が必要です」
  • 「あなた(マリリン)は明らかに間違っている。世界最高の知能指数保有者が数学に対してこれ以上世間に無知を広める愚行を止めなさい、恥を知るように!」

こんな辛らつな内容のメッセージが彼女に寄せられたのです。しかも、このようなメッセージを送ったのは、一般の人達だけでなく大学の数学教授も少なからず含まれていました。

数学者でも間違える確率問題があるなんて不思議ですよね。しかも、その問題は一般の私たちでも簡単に理解できる単純な問題なのですから。

 

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モンティ・ホール問題の解説

では、モンティ・ホール問題の解説を行っていきましょう。

なぜモンティ・ホール問題の解答が、マリリンが言うように、

「ドアを変更すると当たる確率が二倍になる」

のかを詳しく説明していきます。直感的に理解するために、いくつかの異なる説明方法を紹介していきますので、どれか一つでも自分の納得できるものを探してくださいね。

解説①:始めにハズレのドアを選べば必ず最後は当たると考える

司会者のホール氏がドアを変えるか聞いたとき、

ドアを変えない場合は、当たる確率は1/3

ですね。これは、簡単に分かるでしょう。どれか一つが正解である三つのドアから一つを選ぶとき、当たる確率は当然1/3です。

ですので以下では、必ず”ドアを変える行動をとる”と決めて話を進めましょう。

始めにドアを選ぶ方法は三通りあります。まずは、下の図のようにドアに番号をつけて区別しやすくしてみましょう。

上の図は、Bのドアが当たりの場合です。挑戦者はA,B,Cのドアのどれかを選びますが、すべての場合について考えてみましょう。

 

まずは、Aを選んだ場合です。この場合はハズレのドアを選んでいることになります。

次に、ホール氏はもう一つのハズレのドアを開けることになります。つまりドアCです。

ここで、ドアを変えるとアタリのドアBになりますね。よって、ドアAを選んだ場合は最終的には、当たるということです。

 

次は、始めにBを選んだ場合です。このドアはアタリのドアです。

ホール氏がハズレのドアを開けますが、これはA,Cどちらのドアを開けるかはホール氏の気分次第ですが、どちらでもいいことです。

ここで、ドアを変えるとハズレのドアになってしまいます。よって、ドアBを選んだ場合は最終的には、ハズレるということです。

 

最後に、ドアCです。このドアはハズレですね。

ホール氏は、もう一つのハズレのドアAを開けることになります。

ここで、ドアを変えるとアタリのドアBとなりますね。よって、ドアCを選んだ場合は最終的に当たります。

 

まとめると、

  • ドアAを選ぶ → 当たる
  • ドアBを選ぶ → 外れる
  • ドアCを選ぶ → 当たる

つまり、ハズレのドアを始めに選ぶと最終的には当たり、アタリのドアを選ぶと最終的にはハズレるということです。ハズレのドアは二つ、アタリのドアは一つなので、最終的に当たる確率は、2/3ということになります。

ドアを変えた方が変えないときの確率(1/3)より二倍高くなりますね。

これがモンティ・ホール問題の王道の解説だと思います。

解説②:司会者ホールと一緒にドアを開けると考える

次は少し考え方を変えてみましょう。分かりやすくするため、ドアに印をつけますが、あえてアタリはどのドアかは描きません。

今回も”ドアを変える行動をとる”と決めて進めていきます。

まずは、ドアAを選んだとします。そして、司会者ホール氏が残りの二つのドア(B,C)からハズレのドアを開けようとします。

でもちょっと待ってください!まだホール氏にドアを開けさせてはダメです。

このとき、自分も残ったドア(ホール氏が選んでいないB,Cのどちらか)をホール氏と同時に開けるのです。

なぜかというと、ドアを変える行動をとるということは、ホール氏がドアを開けたあと、必ずそのドアを開けることになります。なので、もう同時に開けてしまおうということです。

同時に開けるということは、”二つのドアを選んだ”という見かたもできます。つまり、ホール氏の最後の質問、

「今のドアのままでよいですか?それとも、ドアを変えますか?」

が、

「今のドアのままでよいですか?それとも、他の二つのドアにしますか?」

という意味の質問であると捉えることができるのです。

そうすると、もちろん三つの中から一つ選んだ今のドアよりも、三つの中から二つ選択できる方が確率が二倍に上がりますよね。

ホール氏の開けるドアは必ずハズレなのですが、自分が一つではなく、二つのドアを選ぶことができた(ホール氏はただの開けるだけの役)と考えると確率が二倍になるということが分かります。

どうでしょうか?わたしはこの解説がもっとも直感的に納得できました。

解説③:ハズレのドアを増やす

ハズレのドアを増やして考えてみるという方法もあります。

正式なモンティ・ホール問題では三つのドアから一つのドアを選ぶというものですが、例えば、100個のドアを使って同じ問題をやってみるのです。

すると、ゲームの進行は次のように変わります。

  1. 100個のドアのどれか一つにアタリがある、他すべて(99個)はハズレ
  2. 挑戦者は100個から一つだけドアを選ぶ
  3. ホール氏は残りの99個のドアから98個のハズレのドアを開けてみせる
  4. 挑戦者はドアを変えるか、そのままかを選択する

はじめに挑戦者は100個の中から一つのドアを選びます。このときにアタリのドアを選べる確率は1/100=1%であり、ほとんどハズレてしまいますよね。

次に、ホール氏が残りの99個のドアから98個のハズレのドアを開けてくれます。そして、ドアを変えるかどうかを質問されます。

この場合はどうでしょうか?1/100で選んだドアよりも、99個から残った一つのドアを選んだ方が当たる確率が高いということが直観的に分かりやすくなったと思います。

99個から残った一つのドアは、答えを知っているホール氏が開こうとしなかったドアなのですからね。

どうでしょうか?

 

実際に実験して確かめよう

実際に実験して確かめてみてもよいかもしれません。

これは、問題を理解したことにはなりませんが、実際にやってみることでゲームの内容をよりイメージできるようになります。

ゲームには司会者役と挑戦者約が必要ですので、協力者を一人連れてきてください。

本物の車とヤギを使うわけにはいきませんので、代わりにトランプを使います。トランプは三枚あれば十分です。

ジョーカーを二枚とエースを一枚準備します。ジョーカーがヤギ(ハズレ)でエースが車(アタリ)です。

では、やってみましょう。

 

まず、司会者がカード伏せます。このとき、挑戦者はカードを見てはいけません。

また、司会者はどのカードがジョーカーでどのカードが車かを覚えておいて下さい。

 

次に挑戦者はカードを選びます。

挑戦者がカード選ぶと、司会者はハズレのカード(ジョーカー)を開けます。

ハズレが二つある場合は、どちらを開けても構いません。

 

そして、司会者はお決まりのセリフ、

「カードを変えますか?それとも変えませんか?」

と挑戦者に尋ねます。

挑戦者は、カードを変えるか、変えないかを選び、最終的に選んだカードを開けてください。

 

このように、実際にゲームをやってみて、

  • 必ずカードを変える
  • 必ずカードを変えない

場合の二つの選択パターンをそれぞれ10回ずつやってみましょう。

勝率に差が出るはずです。

もちろん、確率の問題なのでたまたま予想外の結果が出るときもありますが、何回もやっていくとどちらの選択が当たりが出やすいかが分かるはずです。

 

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まとめ

  • モンティ・ホール問題は誰でも理解できる確率の問題だが、数学者でも間違うことがある
  • 解答を納得するには、色々な解説をみてみる
    • 解説①:始めにハズレのドアを選べば必ず最後は当たると考える
    • 解説②:司会者ホールと一緒にドアを開けると考える
    • 解説③:ハズレのドアを増やす
  • 実際にトランプでプレイしてみるとイメージがよりしやすくなる

※コメントの反映には少し時間がかかります

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