【数学クイズ・パズル】学校で話題にできる数学の面白い問題5選 – 丁寧な解答付き

2018年9月1日

この記事はこんなことを書いてます

学校などでみんなで楽しめるような話題にしやすい面白い問題を紹介します。

問題には丁寧な解答を用意してあるので、どうしても分からないときは正解を確認しましょう。

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話題にできる問題その①:9点を4本の直線で結べ(ただし、一筆書き)

はじめに紹介するのは、9点を一筆書きの4本の直線で結ぶという問題です。

問題

9点を一筆書きの4本の直線で結ぶ

下の図のように、9つの点がきれいな正方形に配置されています。

これら9つの点をすべて通る4本の直線を描きなさい。ただし、一筆書きとします。

ダメな例を下に描いておきます。

では、やってみましょう!

少しやってみるとわかりますが、普通にやっていると最低でも五本の直線が必要です。

どうしても四本では足りません。下にヒントを書きますので自力で解きたい人は注意してください。

 

ヒント

ヒントは、

範囲を広く使う

です。

線を引いていて、そこで点が終わるからといって止まってしまわず、そのまま突き抜けてみましょう。

すると、突破口が開けるかもしれませんよ。

 

解答

それでは、解答です。正解は以下のようになります。

はじめ右上の角の点から出発し、一番左下の点に達すると真上に向かいます。

そして、左上の点まできますが、ここで止まらずに突き抜けてもっと上まで線を引きます。

そして、右斜め下に向かって二つの点を通過するように線を引き、一番下の点の位置まできたら最後に真左へ向かいます。

一番左下の点まで戻ってくれば終了です(厳密には真ん中下の点で終わってよいです)。

順番はこの解答以外にもありますが、基本的にはこの形になります。

 

どうでしたでしょうか?結構有名な問題なので知っていた人もいたかもしれませんね。

 

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話題にできる問題②:この板を穴に隠せ

”ある板があり、それをどう穴に隠せるかどうか?”という問題です。

問題

この板を穴に隠せ

下の画像のように、地面に穴が空いています。また、板もあります。

この板を二つに切断して穴に隠したいのですが、そんなことは可能でしょうか?

可能ならば、どのように切ればよいでしょうか?

ここは、二次元の世界だとします。三次元的な奥行きはない世界ですので、二重にするというようなことはできません。

さて、どうすればよいでしょうか?

もちろん、そのまま入れようとすると、板の幅の方が大きいので入りません(下の左図)。

板を半分に切って縦に入れようとしても、板の高さは8mですのでその二倍の16mとなると、穴から飛び出してしまいます(下の右図)。

 

ヒント

次は4つに切ってみましょう。下の画像のように切ります。

板を横にして、ちょうど四等分になるように切っています。

これであれば、分割した一つの板の幅は2cmになりますし、それを四つ重ねれば高さがちょうど12cmですので、ぴったりと穴に入ります。

ただし、板は二つに切断しなければいけません。この方法では、四つですねのでダメですね。

ただ、ここで分かったことは、板の面積と穴の面積は同じだということです。

ということは、穴に板を入れることは不可能ではないかもしれないということです。

 

解答

では、解答です。

板を下の図のように切りましょう。

左の白い点線が切り口です。このようにすると、右のような二つの図形ができます。

そして、分割した二つの板を、下の画像のように組み合わせます。

これで、穴の大きさと同じになりました。

すっぽりと入るはずですね。

 

話題にできる問題③:どうやったら45分を計測できる?

燃えるスピードが場所によって違うロウソクを使って、時間をうまく計る問題です。

問題

ちょっと変わったロウソクで45分を計ろう

ここにロウソクがあります。ただし、このロウソクは両端から火をつけれるようになっています。

下の画像のようなイメージです。

このロウソクの片方に火をつけ、ロウソクが全部燃えてしまうまでの時間はちょうど1時間です。

しかし、燃える速度は一定ではありません。

例えば、半分までは10分で燃えてしまい、残りの半分に50分かかるというロウソクもあるかもしれません。それは、燃え方はロウソクによってバラバラです。

ただし、必ず全部燃えきる時間は1時間です。

このロウソクを使って45分を計測してください。

なお、ロウソクは何本使ってもかまいません。

もし、ロウソクが燃えていくスピードが同じならば、片側から火をつけ、ロウソクが4分の3だけ燃えたところが45分だということが分かります。

しかし、ロウソクの燃えるスピードが違ういまのロウソクでは、ロウソクの長さから経過時間を出すことができません。

どうしましょう?

話は変わりますが、ロウソクの片方に火をつけた場合に燃えきる時間は1時間ということは、両端から火をつけた場合の燃えきる時間は30分ですね。

計るべきは45分間ですので、1時間と30分間を組み合わせても45分は作れそうにありません。

どうすればよいでしょうか?

 

ヒント

ヒントを出しましょう。

45分を計測するために必要なロウソクは二本です。

そして、重要なのは火をつけるタイミングです。

さあ、考えてみましょう。

 

解答

正解を発表します。

まず、二本のロウソクを準備します。

一本目のロウソクには、片側だけに火をつけます。

もう一つのロウソクには、両端に火をつけます。

これらの火をつけるタイミングはすべて同時です。

このまま30分後を待ちましょう。すると、両端に火をつけたロウソクがすべて燃え終わります。

片側だけ火をつけたロウソクは残り30分残っています。※ただし長さは半分になっているかは分かりません。

ここで、はじめに片側だけ火をつけたロウソクのもう片側にも火をつけます。

このロウソクは片側だけ燃やせばあと30分で燃えきるはずだったので、このタイミングで両端から燃やすことで半分の時間の15分で燃えるようになります。

 

ということは、

  • はじめに両端から火をつけたロウソクが燃えるまで30分、
  • そこから片側だけに火をつけていたロウソクに両端から火をつけ15分、
  • よってすべてのロウソクが燃え尽きるのは30分+15分=45分となり、

45分が計測できました!

 

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話題にできる問題その④:トランプの表向きの数を一致させろ

トランプを使った数学パズルです。

二つのカードの山の表向きのカードの数を目隠しで当てるゲームです。

問題

トランプの表向きの数を一致させろ

このゲームはゲーム進行者と挑戦者の二人で行います。

まず、一組のトランプを用意します。ジョーカーを抜かして52枚です(ジョーカーを入れたままでも構いません)。

ここから先は、挑戦者は目隠しをしてゲーム進行者の行動を一切見てはいけません。

ゲーム進行者は、すべて裏の状態のカードの山を十枚だけ表にします。よくシャッフルしてください。

そして、

「これは、52枚の内10枚だけ表にしたカードの山です」

といいながら、カードの山を挑戦者に渡します。

ゲーム進行者は、

「この山を二つに分けて、それらの山で表になっているカードの数を同じにしてください」

と言います。

挑戦者は、どうやって二つのカードの山を作れば、表のカードの枚数を同じにできるでしょうか?

※二つのカードの山は同じ枚数でなくてもよいです。

挑戦者は目隠しをされていますので、カードを見ることができません。

適当に二つに分ければ、運よく表のカードの数が5枚ずつになるかもしれませんが、それではダメです。

100%同じにできるような方法を考えましょう。

 

ヒント

ヒントです。

トランプはカードをひっくり返せば、表と裏が逆転しますね。

例えば、挑戦者に渡されたカードの山は表が10枚ですが、それをそのままひっくり返せば、その山は裏が10枚の山に早変わりします。

ただし、いきなりひっくり返してもダメです。

さぁ、考えてみましょう。

 

解答

挑戦者は、渡されたトランプの山から上から10枚とって別の山を作ります。

これで、二つの山ができました。

そして、10枚の方の山をひっくり返します。

これで終わりです。二つの山の表のカードの数は同じになっているはずです。

なんだか分かりにくいですよね。本当になっているのでしょうか?

 

実際に考えてみましょう。

いま、ゲーム進行者から10枚だけ表になったカードがある山を手渡されました。

そして、上から10枚別の山にします。

この時点で、10枚の中に3枚だけ表のカードが含まれていたとします。

ということは、元々の山には7枚の表のカードが残っている状態ですね。

そして、10枚の方の山をひっくり返すと、表のカードが裏へ、裏のカードが表になります。

ということは、10枚中3枚が表だったので裏のカードが3枚となり、表のカードが7枚となります。

これで表のカードの枚数は同じになりましたね。

 

話題にできる問題その⑤:どっちの面積が大きい?

図形の面積を比べてどちらの面積が大きいかを答える問題です。

解くための特別なテクニックは必要ありません。学校のテストなど出題されてもおかしくないような問題です。

問題

どっちの面積が大きい?

下の図形を見てください。

正方形の中に黄色と青色の領域があります。青色の領域は円をキレイに半分に割ったような形をしています。

黄色の領域と青色の領域の面積で大きい方はどちらでしょうか?

※電卓の使用はオッケーです。ただし、\(\pi=3.14\)を用いてください。

パッと見は同じくらいですね。

青い円を割った部分の面積さえ求めることができれば、後は一番大きな正方形から引くことで黄色い部分の面積は求めることができそうです。

問題はどうやって青い部分の面積を求めるかですね。

では、やってみましょう。

 

ヒント

何も難しいテクニックは必要ありません。

中学校のテストにも出てきそうなくらい正当に解いて大丈夫です。

使用する公式は、”正方形の面積を求める公式”と”円の面積を求める公式”の二つです。

 

まずは、右下にある小さな正方形の一辺を\(x\)とでも置いて、他の部分の長さを\(x\)で表現できないか考えてみましょう。

一度、上の図形を紙に書いて、辺の長さが分かるところを片っ端から書いていくと突破口が見つかりますよ。

 

解答

ヒントで述べたように、\(x\)を使って長さの分かる辺を埋めていきましょう。

まず、すぐに分かるのは、小さな正方形の縦の長さですね。正方形ですので、横の長さと同じになるはずです。

次に、その正方形にくっ付いている半円に注目しましょう。

正方形の縦と横の長さがそのまま、円の直径となっていることがわかります。

円の直径が\(x\)であれば、半径は\(x/2\)ですので、下の図のようになります。

よく見ると、中ぐらいの正方形の辺の長さも分かってしまいました。

さっき分かった円の半径と小さな正方形の辺の合計になりますね。ですので、

となります。

そして、大きいほうの半円がこの正方形にくっ付いていますね。

よって、大きいほうの円の半径が分かります。

さらに、一番大きな正方形の辺の長さも分かりますね。

 

これで、すべての情報が揃いました。

少し複雑ですので、\(x\)に数字を入れてみましょう。

ここでは、\(x=4\)としてみます。これは、すべての辺の長さを整数にするために都合のよい数字だからです。

上の図の式を見ると、\(x\)を\(2\)で二回割り算することになりそうですよね。だから\(4\)がいいのではないかということです。

実際に\(x=4\)として、各辺の長さを出してみると、

となります。これで面積を計算することができますね。

 

まず、青い部分の面積から計算しましょう。

半分に割れている円が二つずつあります。

ということは、半径が\(2\)の円と半径が\(3\)の円が一つずつあると考えてよいですね。

それぞれの円の面積は、

\begin{align}
\text{(半径が\(2\)の円)} \pi \times 2^2 = 12.57 \\
\text{(半径が\(3\)の円)} \pi \times 3^2 = 28.27
\end{align}

です。この二つを足すと、青い部分の面積になるので、

$$12.57 + 28.27 = 40.84$$

です。

青い部分の面積は、\(40.84\)です。

 

続いて、赤い部分の面積です。

これは、簡単ですね。一番大きな正方形の面積から青い部分の面積を引けばよいので、

$$9^2 – 40.84 = 81 – 40.84 = 40.16$$

となり、赤い部分の面積は\(40.16\)です。

 

よって、

  • 青い部分の面積は\(40.84\)
  • 赤い部分の面積は\(40.16\)

とまとめれます。

答えは”青い部分の面積の方が赤い部分の面積よりも大きい”ということになりますね。

 

余談

コメント欄で教えてもらったのですが、\(\pi=3\)として計算すると答えが逆転して、”赤い部分の面積の方が大きくなる”ようです。

$$3.14 \rightarrow 3$$

の違い(\(0.14\)の違い)で、結果が変わってしまうほど微妙な差なんですね。

面白いです。教えてくれてありがとうございました。

 

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まとめ

  • 学校などで話題にできる面白い問題を紹介しました
  • 数学には、ここで紹介した以外にもまだまだたくさんの面白い問題・話題がいっぱい
  • このサイトの別の記事も楽しんでいってね

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