【数学クイズ・パズル】刑務所内の囚人による帽子の色当てクイズ – 三人のうち帽子の色が分かったのは誰?

2020年5月19日

この記事ではこんなことを書いています

数学的なロジックを使うクイズやパズルには、色々な面白い問題が考えられていますが、その一つに”刑務所内の囚人による帽子の色当て問題”というものがあります。

ここでは、問題の紹介とその解答を詳しく紹介しましょう。

この問題はとてもシンプルであり、実際にやってみることもできますので、友達を集めて遊んでみるのもオススメですよ。

刑務所で行われた帽子の色を当てる問題

問題は、以下のとおりです。

刑務所の帽子の色当て問題

刑務所に三人の囚人がいます。

三人は、階段上の台に座らされ、三人とも同じ方向を向いています。

そして、囚人には、赤い帽子二つ、白い帽子二つの中から、どれかをかぶせると伝えます。

これらの帽子を下の図のように囚人本人には分からないようにかぶらせました。

下の段から囚人A,B,Cと呼びます。

上の図のように、かぶらされた帽子の色は、

  • 囚人A:白の帽子
  • 囚人B:赤の帽子
  • 囚人C:白の帽子

です。

囚人は後ろを向くことはできず、声を出すこともできません。もちろん、動いてはいけません。

ですので、自分より前にいる囚人の帽子の色は分かるけれども、自分と自分より後ろにいる囚人の帽子の色は分からないのです。

さて、彼らの中で自分の帽子の色が分かるのは誰でしょう?

その囚人が見事に帽子の色を当てることができれば、囚人たちは釈放です。

これが、”刑務所の帽子の色当て問題”です。

以下では、問題の注目ポイントとヒントを書いていますので、ヒントなしで解きたい人はここまで読んだところで考えてみましょう。

 

問題の注目ポイントとヒント

注目ポイント①

この問題で注目すべきポイントの一つ目は、

赤い帽子と白い帽子が二つずつしかなく、それは囚人たちも知っている

ということです。

白い帽子は囚人Aと囚人Cがかぶっています、赤い帽子は囚人Bがかぶっています。なので、使っていない赤い帽子が一つ余っている状態です。

ただし、どの色の帽子が余っているかは、囚人たちには分かっていません。

注目ポイント②

注目ポイントの二つ目は、

囚人たちが分かる情報量が違がっている

ということです。

一番情報量の少ない囚人は、囚人Aであり自分の帽子を含めて、囚人BとCの帽子も分かっていません。この囚人は何も情報がないのです。

逆に、一番情報量が多いのが台の一番上にいる囚人Cです。彼は囚人Aと囚人Bの帽子の色が分かっています。感覚的には一番自分の帽子の色が分かりそうな人物なように思えます。

最後に、台の真ん中に座っている囚人Bは囚人Aの帽子の色だけが見えています。

解くためのヒントとコツ

ヒントを教えましょう。この問題を解くコツは、

自分が一人の囚人になったつもりで、他の囚人が考えていることを想像しながら自分の帽子の色を考えること

です。

このような帽子の色が各囚人に割り当てられている場合、どの囚人も目に見える情報だけでは、自分の帽子の色を当てることはできません。

となれば、目に見えない情報である他の囚人の考えていることを推理の材料として使うのです。

囚人A, B, Cに順番になりきって、自分の持っている情報(帽子の色)と他の囚人の考えを組み合わせて推理していきましょう。

 

以下には、問題の解答を書いていますので、自力で解きたい人はここまででもう一度問題に挑戦してみてください。

 

刑務所の帽子の色当て問題の解答

それでは、解答を教えましょう。答えは「囚人B」です。囚人Bが初めに自分の帽子の色が分かります。

なぜでしょうか?

上で書いた通りそれぞれの囚人になりきって推理してみます。もう一度、それぞれの台の位置と帽子の色を下の図で再確認しましょう。

まずは、一番下の段の囚人Aからです。彼は一番少ない情報の持ち主でした。何も情報がありません。当然何もわからずに黙っているしかないです。

 

次に一番上の囚人Cはどうでしょうか?彼は一番情報が多く、囚人AとBの帽子の色が分かります。

囚人Aは白の帽子、囚人Bは赤の帽子をかぶっていることは分かります。帽子は赤と白が二つずつですので、残りの帽子は赤と白の帽子が一つずつです。

これでは、自分はどっちの帽子をかぶっていてもおかしくありません。囚人Cは自分の帽子の色は分からないのです。ですので、彼も黙っているしかありません。

この”黙っている”という行為が重要になってきます。

 

最後に囚人Bです。彼は囚人Aが赤い帽子であることだけ分かっています。この情報だけでは、自分の帽子の色は分かりませんが、囚人Cがいつまでたっても黙っていることに気づきます。

囚人Cは、囚人Aと自分(囚人B)が同じ色の帽子だった場合、例えば囚人Aも自分も赤い帽子だった場合は、すぐに「わたしは白い帽子をかぶっている!」と答えることができるはずです。

なぜなら、帽子は赤と白の帽子が二つずつしかないのですから。囚人Aと自分(囚人B)の帽子の色がどちらも白い場合にも同様です(下の画像のような状況です)。

しかし、囚人Cは黙ったままです。ということは、「囚人Aと自分(B)の帽子の色は違う色である」と囚人Bは考えることができます。

囚人Aの帽子の色は白なので、囚人Bはその逆の色である”赤の帽子”であると分かります。

これで、囚人Bは自分の帽子の色が分かってしまうのです。面白いですね。

 

重要なのは、

目に見えている情報(帽子の色)と、見えない情報(他の囚人の考え)を組み合わせて論理を組み立てること

です。

 

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まとめ

  • ”刑務所の帽子の色当て問題”の解答の詳しい解説を紹介した
  • 解くためには目に見える情報(帽子の色)と見えない情報(囚人の心理)を組み合わせて考えていくことが重要

※コメントの反映には少し時間がかかります

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Posted by yoshi