【数学クイズ・パズル】囚人の数学ロジック問題まとめ – 囚人や刑務所が登場する数学の問題をまとめました

2018年8月8日

この記事ではこんなことを書いています

数学のロジック問題や確率問題では囚人が登場する例が多数あります。

なぜ囚人を使った問題が多いのかは分かりませんが、ここではそれらの問題をまとめてみました。

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刑務所で帽子の色を当てろ(その①) – 三人のうち帽子の色が分かったのは誰?

数学のロジック問題です。

三人の囚人がいて、自分が帽子の色が分かるのは誰でしょう?

という問題です。では、問題を見てみましょう。

三人のうち帽子の色が分かったのは誰?

ここに三人の囚人がいます。

この囚人たちを階段状の椅子に座らせます(下の画像)。

そして、彼らはこう伝えられます。

「今から、ここに二つずつある赤と白の帽子をかぶせていく」

誰か一人でも、自分の帽子の色が分かれば、三人とも釈放してやろう」

「しかし、誰かが間違えた場合はみんな死刑にする」

そして、囚人はこんな状態になりました。

囚人は自分の帽子の色は分かりません。

分かるのは、自分よりも前に座っている囚人の帽子の色だけです。

囚人は声を出してはいけませんし、振り向くことも動くこともできません。

 

このような状況でただ一人、自分の帽子の色が分かる囚人がいます。

さて、どの囚人が自分の帽子の色を当てれたでしょうか?

帽子の色が交互に違うということが、この問題を難しくしていますね。

もし、AとBが同じ色の帽子であれば、Cの囚人はすぐに自分の帽子の色が分かります。

なぜなら、帽子は赤と白が二つずつしかないからです。

上の画像のように、前の二人が白の帽子をかぶっていれば、残りは赤い帽子だけになり、Cは自分が赤い帽子であることが分かります。

 

しかし、今は、帽子の色が交互です。

これでは、Cは自分はどっちの帽子をかぶらされているかが分からないように思えます。

 

さあ、考えてみましょう。誰が、自分の帽子の色を分かるでしょうか?

 

答えは、以下の記事で詳しく解説しています。

 

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死刑になる囚人が喜んだ理由は正しい? – 確率に関するパラドックス

数学の確率に関するパラドックスです。

死刑予定の三人の囚人うち、一人は釈放されることになったのですが、ある囚人が看守からある情報を聞き出します。

その情報を聞いてその囚人は自分が釈放される可能性は上がったと考えるのですが、はたして正しいでしょうか?

では、問題を見てみましょう。

死刑になる囚人が喜んだ理由は正しい?

三人の死刑予定の囚人がいます。彼らを囚人A,B,Cとしましょう。

彼らに吉報です。

この中から一人だけ釈放になるというのです。

誰が釈放になるかはすでに決まっていて、完全にランダムに決められました。

つまり、みな1/3の確率で釈放になるチャンスがあるのです。

 

誰かが釈放になるという情報が三人の囚人にも伝わります。だたし、誰が釈放になるかは分かっていません。

 

そこで囚人Aは、囚人Bと囚人Cに内緒で、看守にこう質問します。看守は誰が釈放になるかを知っています。

囚人A:「看守さん、囚人Bと囚人Cのどちらかでいいので、死刑になる(釈放にならない)かを教えてくださいよ」

囚人A:「別に、それを知っても俺が釈放になるかどうかは分からないからいいだろ?」

 

看守は「それもそうだな。そのくらいは教えても問題ないだろう」と考え、

看守:「ここだけの話だが、囚人Bは死刑だ。釈放されないよ。」

と答えます。

 

これを聞いた囚人Aは小躍りして喜びます。

囚人Aは内心以下のように考えていました。

囚人Aの心の声:「囚人Bが死刑になるということは、釈放になるのは自分(囚人A)か囚人Cのどちらかだ」

囚人Aの心の声:「自分と囚人Cが釈放になる可能性は同じだから、確率は1/2」

囚人Aの心の声:「釈放になる確率が1/3から1/2へ上がったぞ!

 

さて、囚人Aのこの心の声は正しいでしょうか?

本当に確率は上がったのでしょうか?

このような問題です。

一見、囚人Aの考えは正しいように聞こえますね。

さて、あなたはどのように考えますか?

以下の記事で問題と解答、そして解説までを紹介しています。

 

刑務所で帽子の色を当てろ(その②) – 三人のうち帽子の色が分かったのは誰?

またまた囚人の帽子の色当てクイズです。

この記事の初めに紹介した問題と似ていますが、少し難易度は上がりますよ。

囚人の帽子の色当てクイズ

三人の囚人がいました。

この囚人たちが一か所に集められ、目隠しをされます。

そして、次の五つの帽子から一つかぶせられます。

赤い帽子が二つと白い帽子が三つです。

この中から一つをかぶせられた囚人は目隠しを外されます。

このとき、下の画像のような状態です。

三人すべての囚人に白い帽子がかぶせられました。

囚人は他の二人の囚人がどの色の帽子をかぶっているかは分かりますが、自分がかぶっている帽子の色は分かりません

また、囚人たちは赤い帽子が二つと白い帽子が三つのうちどれかがかぶせられているということは知っています

 

彼らは、少し考える時間を与えられた後、同時に「自分のかぶっている帽子の色はわかりましたか?」と尋ねられました。

すると、彼らはお互い顔を見合わせた後、「わかりました」と答えました。

なぜ、彼らは自分の帽子の色が分かったのでしょうか?

では、考えてみましょう。

どの囚人も他の二人の囚人が白い帽子をかぶっていることは分かります。

しかし、その情報だけでは、自分の帽子の色は分かりません。

残る帽子の色は白が一つ、赤が二つ残っているからです。

 

ヒントは、やはり”他の囚人の立場になって考えてみること”です。

そして、”もし自分の帽子の色がこの色だったら”という仮定を立てて推理を進めていきましょう。

答えと解説は以下の記事で詳しく述べています。

 

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まとめ

  • 数学のクイズ・パズルは囚人がよく登場する
  • ここでは、囚人が登場する数学クイズ・パズルをまとめて紹介した
  • まだまだ紹介していない問題も多くあるので、この記事に徐々に追加予定

※コメントの反映には少し時間がかかります

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