小学校の算数で登場する魔方陣の解き方を丁寧に解説します

2018年4月7日

ここではこんなことを書いています

小学校の算数で登場する魔方陣ですが、これが結構奥が深いです。

「一見解けないんじゃない?」と思えるものでも、わずかな情報からマスに入る数字が分かってしまうこともあります。

ここでは、そんな魔方陣の解き方を詳しく解説しています。3×3の魔方陣の解き方をマスターしましょう。

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魔方陣とは?…そして魔法陣とは?

魔方陣”とは下の図のように、正方形の中に数字が配置されているような形をしています。

そして、重要なルールは、

縦、横、斜めに数字を足したとき、すべて同じ数になる

ということです。

いまの場合は、3マス×3マスの魔方陣を考えています。そして、使われている数字は1~9までです。

縦、横、斜めの三つの数字を足した数は\(15\)となります。なぜ、\(15\)となるのかはこの記事の後半で説明しますね。

 

3マス×3マスの魔方陣以外にも、4マス×4マスの魔方陣、5マス×5マスの魔方陣といったように、もっと大きくしていったものもあります。

ここでは3マス×3マスの魔方陣をメインに説明していきます。

 

ここで注意したいのが、使う数字は何でもいいということです。

例えば、下の魔方陣は、2がなく代わりに11が使われています。

このような魔方陣の場合、縦、横、斜めの三つの数字を足した数は\(15\)となりません。

合計した数は使った数によって変わってきます。ここでは、\(18\)となりますね。

 

魔方陣の基礎としてはこんな感じです。

最後に、”魔方陣”という漢字に気をつけましょう。”魔法陣”ではありません

魔法陣は、こんなのです↓

 

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魔方陣の解き方

では、魔方陣の解き方を説明しましょう。

魔方陣を解くとは、魔方陣の空いたマスを埋めるということです。

例えば、下の魔方陣は左下に数字が入っていませんね。

ここに何の数字が入るかを考えていくのが魔方陣を解くことです。

 

色々な問題がありますので、実際に問題を解きながらマスターしていきましょう。

 

問題①:基礎からはじめよう

まずは、基礎からです。

次の魔方陣の「あ」と「い」の部分に入る数字を考えてみましょう。

ただし、魔方陣に使われている数字は1~9までの数字が一回ずつ使われます。

 

解答

まず、「あ」からです。

魔方陣に使われている数字は1~9までの数字が一回ずつ使われているということですので、縦、横、斜めの数字の合計は\(15\)です。

ですので、「あ」の上下の数字、そして「あ」の左側の二つの数字を足すと\(12\)です。

よって、「あ」には\(3\)が入ればよいことが分かります。

縦か横、どちらか一つだけを使っても求めることができますね。

 

「い」も同じようにして求めることができます。「い」の場合は斜めを使います。

斜めに\(5\)と\(8\)があり、足して\(13\)ですね。

\(15\)には、あと\(2\)が必要ですので、「い」は\(2\)となります。

この問題が魔方陣を解くときの基礎となりますので、しっかりと理解しておきましょう。

 

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問題②:合計値をはじめに調べよう

次の問題は、縦、横、斜めの合計値をはじめに調べる作業が必要な問題です。

では、下の図を見てください。

「あ」のマスに入る数字を求めます。

ただし、今度は使われている数字が分からないとします。

先ほどの問題①は1~9までの数字が使われているという条件がありました。しかし、今度はそのような条件はありません。

さて、どうでしょうか?

 

ヒントは、はじめにも書いたように、足してどんな数になるかを先に調べることです。

 

解答

まずは、この魔方陣が縦、横、斜めを足したときに合計の数は何になるかを調べます。

そのためには、一列数字が揃った場所を探す必要がありますね。それは、一番左の縦のマスです。

ここから、合計を計算しましょう。

これでこの魔方陣の合計して出てくる数は\(18\)ということが分かりました。

ということは、「あ」が含まれている斜めの合計が\(18\)になるように「あ」を決めてやればよいでしょう。

斜めには\(8\)と\(6\)が使われていますので、足して\(14\)です。よって、「あ」は\(4\)としてやればよいことが分かりますね。

 

問題③:たった三つしか分かってなくても解ける

さて、次は少し難しくなりますよ。

以下の魔方陣の「あ」にはどんな数字が入るでしょうか?

※「あ」だけ分かればいいです。「い」は求める必要はありません。

使われている数字は1~9までとは限りません。縦、横、斜めの数字の合計の数も分かっていません。

魔方陣に描かれてある数字はわずか三つです。

さあ、どうやったら「あ」が分かるのでしょうか?

 

ヒントは、「い」のマスを含む縦と斜めの数字の合計が一緒になるということです。

 

解答

「い」のマスを含む縦と斜めのラインに注目しましょう。

二つのラインとも「い」が共通して使われています。

ということは、「い」以外の二つの数字の合計は等しくなければいけません

縦と斜めの合計が等しいわけですから、その数から「い」のマスの数を引いても同じ数にならないといけないからです。

そして、「い」のマスの数を引いた数は上の図でオレンジで示した縦のラインから分かります。

$$8 + 5 = 13$$

ですね。

 

斜めのラインで「い」のマス以外は\(3\)と「あ」です。この二つの数の合計が\(13\)になるので、

$$3 + \text{あ} = 13$$

です。「あ」には\(10\)が入ることが分かりますね。

 

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問題④:魔方陣を完成させよう

問題③の魔方陣をすべて埋めてみましょう。「あ」は分かっていますので、いま魔方陣は下のような状態です。

空いているマスをすべて埋めましょう。

 

ヒントは、真ん中の右のマスを埋めることです。

問題③で学んだ方法を使って分かりますよ。

 

解答

問題③と同じ方法で、上の図の赤いマスを埋めます。下の図の青の枠で囲んだ部分の和を考えてください。

二つの青い枠が含まれる列は右下のマスが共通していますので、青い枠内の合計の数は等しくなるはずです。

斜めの青い枠内の数字は二つとも分かっていますので、これから合計を計算すると、

$$8 + 10 =18$$

です。よって、縦の青い枠内の合計を\(18\)にしようとするなら、赤い枠の数字は\(15\)ということになります。

これが分かれば後は簡単です。

 

真ん中の横一列の数字がすべてわかりました。

ということは、縦、横、斜めの合計が何になるかが分かります。この場合は、

$$5 + 10 + 15 = 30$$

ですので、縦、横、斜めの合計は\(30\)の魔方陣であることが分かりました。

 

これが分かれば、左下と右下のマスが分かりますね。どちらも上の二つの数字を足して\(30\)になるような数字を入れます。

このとき、斜めのラインもちゃんと\(30\)になっていることが確認できます。

残りの二つのマスを入れるのは説明は要りませんね。答えは下の図のようになります。

 

これで3マス×3マスの魔方陣の解き方の解説を終わります。

ここまでのテクニックを使えるようになれば、大抵の問題は解けるようになるはずです。

 

(余談)魔方陣の魔法

余談ですが、魔方陣の不思議な性質について紹介しましょう。

次の魔方陣について考えます。

横一列の数字を並べて三桁の数字を作ります。

\(618\)、\(753\)、\(294\)の三つの数字ができました。これを二乗して、すべて足しましょう。

$$618^2 + 753^2 + 294^2 = 1,035,369$$

ちょっと計算が大変でしたが、答えは\(1,035,369\)となります。

 

次に、先ほど作った三つの三桁の数の各桁の並びを逆にしてみます。つまり、

です。同じように、二乗した数をすべて足します。

$$816^2 + 357^2 + 492^2 = 1,035,369$$

なんと同じ数になりました。

 

そうです。

$$618^2 + 753^2 + 294^2 = 816^2 + 357^2 + 492^2$$

が成り立つのです。

 

これは、横だけではないですよ。縦に三桁の数を作っても同じように成り立ちます。

下の図のように、三桁の数字を作り、

二乗の数を計算すると、

$$672^2 + 159^2 + 834^2 = 276^2 + 951^2 + 438^2$$

が成り立ちます。

 

まさに、魔方陣の魔法ですね!

以上、余談でした。

 

まとめ

  • 魔方陣は3×3や4×4、5×5の正方形のマスでできている
  • 魔方陣の唯一のルールは縦、横、斜めの数字を足したとき、すべて同じ数になることである
  • ここで学んだ解き方をマスターして、どんな魔方陣も解けるようになろう
  • 余談:魔方陣の縦(横)の数字で三桁を作り二乗をして足した数は、三桁の数字の各桁を逆にして同じことをやったものと同じ値になる

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