【高校数学（三角比）】使って覚える三角比の基本公式
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$$$$このページは、こんな方へ向けて書いています
- 三角比の公式を覚えることができない
- 公式の使い方の例が知りたい
- 三角比の基本公式について復習したい
三角比を学ぶ上で、避けることのできない公式があります。
それが、相互関係、正弦定理、余弦定理です。
ここでは、これらの公式を実際に使いながら覚えていくようにします。
公式を覚えることはめんどくさいですが、三角関数を学ぶ上でも重要になってきますので、しっかり覚えましょう。
三角比の相互関係の公式
三角比の相互関係の公式は以下の３つです。
\begin{align}
& \text{① } \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
& \text{② } \sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1 \\
& \text{③ } \tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align}
この相互関係の公式を使うと、\(\sin{\theta}\)、\(\cos{\theta}\)、\(\tan{\theta}\)の値のうちの1つがわかれば、残りの\(\sin{\theta}\)、\(\cos{\theta}\)\、(\tan{\theta}\)の値も簡単に求めることができます。
３つの公式のうち、①と②の２つは使用頻度も高く、特に重要です。
①と②は必ず暗記しましょう。
①・②・③の公式の説明と、どういう問題に使用するかを順番に説明していきます。
まず①の公式です。①の公式には、\(\tan{\theta}\)と\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)が使われているので、\(\tan{\theta}\)と\(\sin{\theta}\)の値がわかれば残りの\(\cos{\theta}\)の値を求めることが出来ます。
同様に、\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値から\(\tan{\theta}\)の値、\(\tan{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値から\(\sin{\theta}\)の値を求めることが出来ます。
続いて②の公式です。②の公式には\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)が使われてるので、\(\sin{\theta}\)の値がわかれば、\(\cos{\theta}\)の値を求めることが出来ます。同様に、\(\cos{\theta}\)の値がわかれば、\(\sin{\theta}\)の値を求めることが出来ます。
最後に③の公式です。
③の公式には\(\tan{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)が使われているので、\(\tan{\theta}\)の値がわかれば、\(\cos{\theta}\)の値を求めることが出来ます。\(\cos{\theta}\)の値がわかれば、\(\tan{\theta}\)の値を求めることが出来ます。
\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)と\(\tan{\theta}\)のうち、どの値を求めるか・どの値が問題文で与えられているかによって①②③の公式を使い分けていきます。
では、この公式を使って、実際に問題を解いていきましょう。
\(\cos\)の値から他の三角比を求める
\(\theta\)は鋭角とする。
\(\cos{\theta} = \frac{1}{3}\)の時、\(\sin{\theta}\)と\(\tan{\theta}\)の値を求めよ。
問題文には\(\cos{\theta}\)の値が書いてあります。
\(\cos\)の値を使って、\(\sin\)の値を求められるのは公式の②でしたね。
なので、公式②に\(\cos{\theta} = \frac{1}{3}\)を当てはめましょう。
$$\sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1$$
\begin{align}
\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} &= 1 \\
\sin^2{\theta} + \left( \frac{1}{3} \right)^2 &= 1 \\
\sin^2{\theta} &= 1 – \frac{1}{9} \\
\sin^2{\theta} &= \frac{8}{9} \\
\sin{\theta} &=\frac{2\sqrt{2}}{3} \\
\end{align}
上の式で最後に2乗を外す時に、プラスとマイナスどちらになるか考えます。
そのまま計算をすれば\(\sin{\theta}\)は±\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)ですが、問題文には最初に\(\theta\)は鋭角（\(90^\circ\)以下）と書いてあるので、\(\sin{\theta}\)の値は＋\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)のみになります。
※三角比の問題では、角度の範囲と符号の関係をしっかり考えて答えましょう。
※\(\sin\)の値がマイナスになるのは、\(\theta\)が\(180^\circ\)より大きいときです。
\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)の符号がイマイチ理解できない人は、以下の記事を見てみるとよいですよ。
https://analytics-notty.tech/expansion-of-trigonometric-ratio/
次に、\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値がわかったので、①の公式に当てはめて、\(\tan{\theta}\)を求めます。
$$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$
\begin{align}
\tan{\theta} &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
&= \sin{\theta}÷\cos{\theta}\\
&= \frac{2\sqrt{2}}{3}÷\frac{1}{3} \\
&= 2 \sqrt{2}
\end{align}
以上で、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)全ての値が求められました。
\(\tan\)の値から他の三角比を求める
\(\theta\)は鋭角とする。
\(\tan{\theta} = 2\)の時、\(\cos{\theta}\)と\(\sin{\theta}\)の値を求めよ。
まずは\(\tan{\theta}\)の値がわかっているので、③の公式に当てはめて\(\cos{\theta}\)の値を求めましょう。
$$\tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$$
\begin{align}
\tan^2{\theta} + 1 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
2^2 + 1 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
5 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
\cos^2{\theta} &= \frac{1}{5} \\
\cos{\theta} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{5}
\end{align}
ここで、最後に2乗を外す時に、プラスとマイナスどちらになるか考えます。
問題の最初に\(\theta\)は鋭角（\(90^\circ\)以下）と書いてあるので、\(\cos{\theta}\)の値はプラスになります。
※\(\theta\)が鈍角の場合はマイナスになる。
\(\tan{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値が求められたので、①の公式に当てはめて\(\sin{\theta}\)を求めましょう。
$$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$
この式を変形をして、
\begin{align}
\sin{\theta} &= \tan{\theta} \cdot \cos{\theta} \\
&= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} \\
&= \frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{align}
となります。
以上で、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)全ての値が求められました。
このように、実際に三角比の相互関係の公式を使いながら覚えていきましょう。
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正弦定理
正弦定理は三角形と円の公式になります。
正弦定理を使う時には、必ず三角形の周りに円（外接円という）がなけれないけません。
$$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} =2 R$$
A、B、Cは角度を、\(a, b, c\)はそれぞれ向かい合う三角形の辺の長さを表しています。
\frac{a}{\sin{A}\
また、\(R\)は外接円の半径です。
正弦定理を使った問題
では、問題を解いていきましょう。
角\(A=120^\circ\)、角\(B=30^\circ\)、\(BC=6\)とする。
\(AB\)の長さを求めよ。また、外接円の半径\(R\)の長さも求めよ
\(AB\)の長さは公式でいうと\(c\)の部分ですね。
\(c\)の長さを求めるためには、角\(C\)を求める必要があります。
三角形の内角の和は\(180^\circ\)になるので、
$$\text{角\(C\)} = 180^\circ-(120^\circ+30^\circ) = 30^\circ$$
であり、角\(C\)は\(30^\circ\)になります。
必要な値が揃ったので、次に正弦定理に当てはめましょう。上の公式を見直してください。
ただし、この問題では、\(\frac{b}{\sin{B}}\)は使わないので、省略します。
よって、
\begin{align}
\frac{a}{\sin{A}} &= \frac{c}{\sin{C}} \\
\frac{6}{\sin{120^\circ}} &= \frac{c}{\sin{30^\circ}} \\
\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &= \frac{c}{\frac{1}{2}} \\
c &= \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \times \frac{1}{2} \\
&= \frac{6}{\sqrt{3}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}
となります。
よって、\(AB\)の長さは\(2\sqrt{3}\)になります。
次に、\(R\)を求めましょう。\(R\)を含んだ正弦定理を使います。
\begin{align}
\frac{a}{\sin{A}} &= 2R \\
\frac{6}{\sin{120^\circ}} &= 2R \\
\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &=2R \\
R &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}
よって外接円の半径\(R\)は\(2\sqrt{3}\)となります。
以上が正弦定理の使い方です。
正弦定理は三角形と円が関係している公式です。
円と三角形がでてきたら正弦定理を考えましょう。
余弦定理
続いては、余弦定理の公式です。
余弦定理は三角形に使える公式であり、
三角形の２つの辺の長さとその間の角から、残りの１辺を求めます。
正弦定理と違い、外接円は関係ありません。
\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A} \\
b^2 &= a^2 + c^2 – 2ac \cos{B} \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos{C}
\end{align}
公式が３つありますが、それぞれ文字を変えただけですので実際に覚えるのは、この中のどれか１つだけオッケーです。
角Aと向かい合う辺がa、角Bと向かい合う辺がb、角Cと向かい合う辺がcであることを頭に入れれば、覚えるのにそんなに苦労はしないでしょう。
求めたい辺の2乗＝残りの辺の2乗＋残りの辺の2乗－2×残りの辺×残りの辺×コサイン求めたい辺の向かいの角
私は↑のようにして余弦定理の公式を覚えました。
余弦定理を使った問題
では、余弦定理を使って問題を解いていきましょう。
\(AB=3, BC=5 , \text{角}B=60^\circ\)とする。
このとき\(AC\)の長さを求めよ。
それぞれ\(AB, AC, BC\)を\(c, b, a\)と置き換えて考えましょう。
すると、求めたいのは\(b\)であることがわかります。
よって、
$$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos{B}$$
の公式をつかえば大丈夫ですね。
公式にあてはめていくと、
\begin{align}
b^2 &= 5^2 + 3^2 – 2 \times 5 \times 3 \times \cos{60^\circ} \\
&= 25 + 9 – 30 \times \frac{1}{2} \\
&= 19
\end{align}
よって、\(c = 19\)となります。
これで、三角比のすべての基礎公式は完璧です！
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まとめ
- 相互関係の公式は、以下の二つは必ず覚える
\begin{align}
& \text{① } \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
& \text{② } \sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1
\end{align}
- 正弦定理は外接円と三角形の関係を示している
- 余弦定理は三角形だけの公式である