【高校数学(三角比)】使って覚える三角比の基本公式

このページは、こんな方へ向けて書いています
  • 三角比の公式を覚えることができない
  • 公式の使い方の例が知りたい
  • 三角比の基本公式について復習したい

三角比を学ぶ上で、避けることのできない公式があります。

それが、相互関係、正弦定理、余弦定理です。

ここでは、これらの公式を実際に使いながら覚えていくようにします。

公式を覚えることはめんどくさいですが、三角関数を学ぶ上でも重要になってきますので、しっかり覚えましょう。

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三角比の相互関係の公式

三角比の相互関係の公式は以下の3つです。

\begin{align}
& \text{① } \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
& \text{② } \sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1 \\
& \text{③ } \tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align}

3つの公式のうち、①と②の2つは特に重要です。

2つは必ず暗記しましょう。

 

では、この公式を使って、実際に問題を解いていきましょう。

 

\(\cos\)の値から他の三角比を求める

例題①

\(\theta\)は鋭角とする。

\(\cos{\theta} = \frac{1}{3}\)の時、\(\sin{\theta}\)と\(\tan{\theta}\)の値を求めよ。

問題文には\(\cos{\theta}\)の値が書いてあります。

\(\cos\)の値を使って、\(\sin\)の値を求められるのは公式の②であることがわかります。

なので、公式②に\(\cos{\theta} = \frac{1}{3}\)を当てはめましょう。

公式②

$$\sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1$$

 

\begin{align}
\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} &= 1 \\
\sin^2{\theta} + \left( \frac{1}{3} \right)^2 &= 1 \\
\sin^2{\theta} &= 1 – \frac{1}{9} \\
\sin^2{\theta} &= \frac{8}{9} \\
\sin{\theta} &= \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{align}

上の式で最後に2乗を外す時に、プラスとマイナスどちらになるか考えます。

問題文には最初に\(\theta\)は鋭角(\(90^\circ\)以下)と書いてあるので、\(\sin{\theta}\)の値はプラスになることがわかりますね。

※\(\sin\)の値がマイナスになるのは、\(\theta\)が\(180^\circ\)より大きいときです。

 

\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)の符号がイマイチ理解できない人は、以下の記事を見てみるとよいですよ。

 

次に、\(\sin{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値がわかったので、①の公式に当てはめて、\(\tan{\theta}\)を求めます。

公式①

$$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$

 

\begin{align}
\tan{\theta} &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
&= \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} \\
&= 2 \sqrt{2}
\end{align}

 

以上で、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)全ての値が求められました。

 

\(\tan\)の値から他の三角比を求める

例題②

\(\theta\)は鋭角とする。

\(\tan{\theta} = 2\)の時、\(\cos{\theta}\)と\(\sin{\theta}\)の値を求めよ。

まずは\(\tan{\theta}\)の値がわかっているので、③の公式に当てはめて\(\cos{\theta}\)の値を求めましょう。

公式③

$$\tan^2{\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$$

 

\begin{align}
\tan^2{\theta} + 1 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
2^2 + 1 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
5 &= \frac{1}{\cos^2{\theta}} \\
\cos^2{\theta} &= \frac{1}{5} \\
\cos{\theta} &= \frac{1}{\sqrt{5}} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{5}
\end{align}

ここで、最後に2乗を外す時に、プラスとマイナスどちらになるか考えます。

問題の最初に\(\theta\)は鋭角(\(90^\circ\)以下)と書いてあるので、\(\cos{\theta}\)の値はプラスになります。

※\(\theta\)が鈍角の場合はマイナスになる。

 

\(\tan{\theta}\)と\(\cos{\theta}\)の値が求められたので、①の公式に当てはめて\(\sin{\theta}\)を求めましょう。

$$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$

この式を変形をして、

\begin{align}
\sin{\theta} &= \tan{\theta} \cdot \cos{\theta} \\
&= 2 \times \frac{\sqrt{5}}{5} \\
&= \frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{align}

となります。

 

以上で、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)全ての値が求められました。

このように、実際に三角比の相互関係の公式を使いながら覚えていきましょう。

 

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正弦定理

正弦定理は三角形と円の公式になります。

正弦定理を使う時には、必ず三角形の周りに円(外接円という)がなけれないけません

正弦定理の公式

$$\frac{a}{\sin{A}} = \frac{b}{\sin{B}} = \frac{c}{\sin{C}} =2 R$$

\(a, b, c\)はそれぞれ三角形の辺を表しています。

また、\(R\)は外接円の半径です。

 

正弦定理を使った問題

では、問題を解いていきましょう。

例題③

角\(A=120^\circ\)、角\(B=30^\circ\)、\(BC=6\)とする。

\(AB\)の長さを求めよ。また、外接円の半径\(R\)の長さも求めよ

 

\(AB\)の長さは公式でいうと\(c\)の部分ですね。

\(c\)の長さを求めるためには、角\(C\)を求める必要があります。

 

三角形の内角の和は\(180^\circ\)になるので、

$$\text{角\(C\)} = 180^\circ-(120^\circ+30^\circ) = 30^\circ$$

であり、角\(C\)は\(30^\circ\)になります。

 

必要な値が揃ったので、次に正弦定理に当てはめましょう。上の公式を見直してください。

ただし、この問題では、\(\frac{b}{\sin{B}}\)は使わないので、省略します。

よって、

\begin{align}
\frac{a}{\sin{A}} &= \frac{c}{\sin{C}} \\
\frac{6}{\sin{120^\circ}} &= \frac{c}{\sin{30^\circ}} \\
\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &= \frac{c}{\frac{1}{2}} \\
c &= \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \times \frac{1}{2} \\
&= \frac{6}{\sqrt{3}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}

となります。

よって、\(AB\)の長さは\(2\sqrt{3}\)になります。

 

次に、\(R\)を求めましょう。\(R\)を含んだ正弦定理を使います。

\begin{align}
\frac{a}{\sin{A}} &= 2R \\
\frac{6}{\sin{120^\circ}} &= 2R \\
\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} &=2R \\
R &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\
&= 2\sqrt{3}
\end{align}

よって外接円の半径\(R\)は\(2\sqrt{3}\)となります。

 

以上が正弦定理の使い方です。

正弦定理は三角形と円が関係している公式です。

円と三角形がでてきたら正弦定理を考えましょう。

 

余弦定理

続いては、余弦定理の公式です。

余弦定理は三角形に使える公式であり、

三角形の2つの辺の長さとその間の角から、残りの1辺を求めます。

正弦定理と違い、外接円は関係ありません。

余弦定理の公式

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A} \\
b^2 &= a^2 + c^2 – 2ac \cos{B} \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos{C}
\end{align}

公式が3つありますが、それぞれ文字を変えただけですので実際に覚えるのは、この中のどれか1つだけオッケーです。

 

余弦定理を使った問題

では、余弦定理を使って問題を解いていきましょう。

 

例題④

\(AB=3, BC=5 , \text{角}B=60^\circ\)とする。

このとき\(AC\)の長さを求めよ。

それぞれ\(AB, AC, BC\)を\(c, b, a\)と置き換えて考えましょう。

すると、求めたいのは\(b\)であることがわかります。

よって、

$$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos{B}$$

の公式をつかえば大丈夫ですね。

 

公式にあてはめていくと、

\begin{align}
b^2 &= 5^2 + 3^2 – 2 \times 5 \times 3 \times \cos{60^\circ} \\
&= 25 + 9 – 30 \times \frac{1}{2} \\
&= 19
\end{align}

よって、\(c = 19\)となります。

 

これで、三角比のすべての基礎公式は完璧です!

 

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まとめ

  • 相互関係の公式は、以下の二つは必ず覚える

\begin{align}
& \text{① } \tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
& \text{② } \sin^2{\theta} +\cos^2{\theta} = 1
\end{align}

  • 正弦定理は外接円と三角形の関係を示している
  • 余弦定理は三角形だけの公式である

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