【中学1年数学（比例と反比例）】「変域」をわかりやすく解説 – 求め方を詳しく説明

2020年3月28日

変域とは

教科書や参考書などには、変域（へんいき）について以下のように書いてあります。

と書いてあります。

もちろん、これは間違いではないのですが、この一文だけで変域について「イメージできた！」という人はいないでしょう。

「納得できたよ。」という人は、このページはあまり役に立たないと思います。

ここでは「変域」とは具体的にどのようなものなのかをイメージできるように丁寧に解説していきます。

 

そのためには、まずは上の説明の部分にも登場している「変数（へんすう）」について理解しておく必要があります。

 

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変数（へんすう）を理解する

変数とは、その漢字が表す通り「変化する数」のことです。

例えば、次のような文があったとします。

「1本40円の鉛筆を\(x\)本買いました」

よく数学の文章問題などに出てくる一文ですね。

 

この文の中で、まだ値が決まっていないものは何でしょうか？それは、「鉛筆の本数」ですね。

上の文では鉛筆の本数はまだ決まってないので、\(x\)と置いているのです。

このように変数とは「まだ値が決まっていない数」、すなわち「後から自由に変えることのできる数」のことです。

 

ちなみに、鉛筆の値段は1本あたり40円ということが決まっているので、「鉛筆の値段」は変数ではありませんね。

このように、変数とは逆にすでに値が決まっている数のことを、「定数」といいます。すでに定（さだ）まった数ということですね。

 

変域（へんいき）の解説

変数について理解したところで、変域の説明に入ります。

まずは、具体的な例から見ていきましょう。

高速道路の速度の例

例えば、高速道路（時速100キロ制限）を走っている車を思い浮かべてください。

この車の速度は、何キロですか？※制限速度を守って走っているとします。

 

実際に測定してみないとわからないですが、可能性としては、

時速100キロ以下

ですよね。

「時速100キロ以下」というのが、車の速度がとる可能性がある範囲のことです。

これを、車の速度の”変域”といいます。

 

そして、「時速100キロ以下」を数学の記号を使って表そうとすると、車の速さを\(x\)として以下のように書けます。

$$x \le 100$$

これが\(x\)の変域を数式で表現したものです。

 

高速道路は最低速度の制限もある

実は高速道路は最高速度の制限だけでなく、最低速度の制限もあるんです。

最低速度制限は時速\(50\)キロです。

 

このようなとき、車は時速何キロの可能性がありますか？

それは、

時速50キロ以上、時速100キロ以下

ですよね。

 

これを数式で表現すると、

$$50 \le x \le 100$$

となります。このように\(x\)を不等号（\(\le\)）で挟みます。

 

はじめはわかりにくい表現だと思いますので、以下のように一つずつ分解して確認してみましょう。

• \(50 \le x\)
• \(x \le 100\)

はじめの式は\(x\)は\(50\)以上、2番目の式は\(x\)は\(100\)以下を表していますね。

よって、\(x\)は\(50\)と\(100\)の間をとることがわかり、その表現は、

$$50 \le x \le 100$$

となるのです。

 

これで、変域についてイメージできましたか？

もう一度、このページのはじめに紹介した教科書に載っている変域の説明を以下に示します。

ここまで読み進めたみなさんなら、今はこの意味がわかるようになっているでしょう。

 

では、次は実際に変域を求める問題を解いていき、変域についての知識をより深めましょう。

 

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変域を求める問題の解き方

変域の数式表現を覚える

まずは、変域の数式表現を覚えるために、以下の問題を解いてみましょう。

では1問ずつ解いていきましょう。

１．\(x\)は\(-3\)以上

\(x\)は\(-3\)以上なので、答えは、

$$x \ge -3$$

ですね。これは詳しい解説はいらないでしょう。

 

ちなみに、答えを、

$$-3 \le x$$

と書いても間違いではありません。

しかし、通常は\(x\)を左にもってきて、\(x \ge -3\)と書くことが多いです。

２．\(x\)は\(10\)以下

\(x\)は\(10\)以下なので、答えは、

$$x \le 10$$

ですね。今度は「以下」なので符号が左右逆になっていることに注意です。

３．\(x\)は\(12\)より大きい

\(x\)は\(12\)より大きいは、

$$x > 12$$

となります。ここで不等号が\(>\)となり、下に線がないものを使っていることに注意してください。

「より大きい」は「以上」とは違って、\(12\)は含みません。

ですので、「\(\ge\)」ではなく「\(>\)」を使うのです。

４．\(x\)は\(-12\)より小さい

\(x\)は\(-12\)より小さいは、

$$x < -12$$

となります。これもさきほどと同じ理由で「\(\le\)」ではなく、「\(<\)」を使っています。

５．\(x\)は\(-5\)以上で\(2\)より小さい

答えは、

$$-5 \le x < 2$$

となります。

この問題は、一つの\(x\)に対して\(2\)つの数値がありますので、\(x\)を挟むように不等号を使用します。

また、\(-5\)に対しては「以上」ですので\(\le\)を使い、\(2\)に対しては「より小さい」ですので\(<\)を使っています。このように、種類の違う不等号を使っていることに注意です。

 

一次方程式から変域を求める

変域についての基本的な問題でよくテストに出題されるのが、一次関数から変域を求める問題です。

以下の例題をみてください。

まず、\(y = 2x\)のグラフを描くと、以下のようになります。

\(x\)が\(1\)だけ増加すると、\(y\)が\(2\)増加する一次関数のグラフとなっています。

 

では、このグラフに対して、\(x\)がとることのできる値（\(x\)の変域）を考えていきましょう。

問題文より、\(x\)の変域は、

$$2 < x < 4$$

ですので、\(x\)は\(2 < x < 4\)の範囲を変化できることになります。

よって、その範囲をグラフ上で示すと、

となります。青の四角形で囲った範囲です。

 

よって、この範囲（\(x\)の変域）だけの\(y=2x\)の線を描くと、

ですね。

 

あとは、このときに\(y\)がどのような範囲で変化できるかを考えればオッケーです。それは、下のグラフのようになります。

グラフからわかるように、\(y\)のとれる範囲は、「\(4 < y < 8\)」ですね。これが\(y\)の変域となります。

$$\text{\(y\)の変域} = 4 < y < 8$$

まだ変域の問題に慣れないときは、このようにグラフを描いてみて丁寧に進めていくとよいです。

 

少し問題に慣れてきた人は、グラフを描かずに数式だけを使って問題を解いていくやり方も知っておきましょう。

※だたし、グラフを描かずに解いていく場合も、頭の中では常にグラフをイメージしていることが大切です。

 

解き方は、まず\(y=2x\)の\(x\)の変域を確認します。それは、「\(2 < x < 4\)」ですね。

そして、\(y\)が最小となるときの\(x\)は何なのかを考えます。もちろん、\(x\)は\(2 < x < 4\)の範囲で考えます。

 

今考えている関数（\(y=2x\)）では、\(x = 2\)のときが\(y\)は最小となりそうです。

ですので、\(y=2x\)に\(x=2\)を代入して、

\begin{align}
y &= 2x\\
&= 2 \times 2\\
&= 4
\end{align}

となります。

 

逆に、\(y\)が最大になりそうな場合は\(x=4\)のときですね。よって、\(y=2x\)に\(x=4\)を代入して、

\begin{align}
y &= 2x\\
&= 2 \times 4\\
&= 8
\end{align}

となります。

 

よって、まとめると、

• \(x=2\)のとき\(y=4\)であり、これが\(y\)の最小値
• \(x=4\)のとき\(y=8\)であり、これが\(y\)の最大値

となります。これより、\(y\)の変域（取りうる値の範囲）は、

$$\text{\(y\)の変域} = 4 < y < 8$$

となります。

 

ここでは、一次関数のようにグラフが直線となる場合を例にして説明してきました。

しかし、二次関数などグラフが曲線になるような複雑な関数では、単純に考えると間違えてしまう場合がでてきます。

そのような問題については、また別の機会に説明しようと思っています。

 

ここでは、

• 「変域」のイメージができた！
• 1次関数から変域の求め方がわかった！

となっていればオッケーです。

 

まとめ

変域について、具体的な日常生活の例を出して説明していきました。

また、変域についての問題を解くことで、さらに理解を深めました。

 

すべてを読んだ人は、今なら以下の教科書に書いてある変域の説明の意味がわかるはずです。

この説明を読んで、「納得！」となった人は変域についてマスターできてますよ！