1/2乗って何? – どうしてそれがルート(平方根)になるのか

2018年8月30日

この記事ではこんなことを紹介しています

\(3^2\)乗とは\(3\)を2回掛けることです。\(5^4\)乗とは\(5\)を4回掛けることです。

では、\(2^{1/2}\)はどうでしょうか?

\(2\)を\(1/2\)回掛ける……???

これは累乗の意味を理解することで納得できます。

ここでは、\(A^{1/2}=\sqrt{A}\)となる理由を、累乗の意味を理解しながら説明していきます。

1/2乗って何? – 累乗を理解すればわかる

\(1/2\)乗を考えることで、累乗のより正しい概念を解説します。

一般的には、

累乗とは、同じものを指定された回数掛け合わせること

と解釈されています。

しかし、それだと\(1/2\)乗は理解できません。

 

例えば、\(2\)の\(1/2\)乗とは何かと考えてみたときに、「\(2\)を\(1/2\)回掛け合わせること」では意味不明です。

2回掛け合わせるなら\(2 \times 2\)のことですが、\(1/2\)回掛け合わせるとは何でしょうか。

\(2\)の上半分だけを書くことでしょうか?そんなバカな(笑)。

 

実は\(1/2\)乗とは、ルートと等しくなるのですが、これからその過程を説明していきながら、「累乗とは何か」について理解していきましょう。

$$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$$

 

ルート(平方根)と累乗の基本的な意味を再確認

ルート(平方根)

まずは、ルートの意味を確認しておきましょう。

ルートとは、別名を平方根(へいほうこん)といいます。

2乗して\(x\)になる数を、\(\sqrt{x}\)あるいは\(x\)の平方根、と呼びます。

$$\text{2乗して\(x\)になる数} = \sqrt{x} = \text{\(x\)の平方根}$$

 

例えば\(2\)を2乗すると\(4\)になります。

ということは、\(2\)は\(\sqrt{4}\)であり、\(4\)の平方根となります。

また、\(-2\)も2乗すると\(4\)になりますので、これも\(\sqrt{4}\)であり、\(4\)の平方根でもあります。

 

今回の記事の内容を理解するために、この「\(\sqrt{x}\)とは、2乗して\(x\)になる数のことである」を意識に留めておいてください。

 

それからもう一つ。実はこのルート記号(√)、必ずしも平方根の時にしか使わないわけではありません。

ただ、もっとも頻繁に使うのが平方根の時なので、ルート記号だけの時は平方根として使うことになっています。

 

例えば立方根(りっぽうこん)というものもあります。

3乗して\(x\)になる数のことを、\(x\)の立方根と呼びます。

例えば\(27\)の立方根は\(3\)です。

$$3 \times 3 \times 3 = 27$$

ですよね。

\(3\)を3乗すると\(27\)になるので、\(3\)は\(27\)の立方根というわけです。

 

4乗の時には4乗根(よんじょうこん)。

5乗の時には5乗根(ごじょうこん)と、いくらでも続けることが出来ます。

まぁ、4乗根以上というのは、数学そのものの勉強の時にしかあまり見かけないもののような気はしますが。

 

そして、ルート記号が何乗根を表しているのかを明確にするために、ルート記号の左上に乗根の数を記入することになっています。

これは、\(2\)の3乗根を表しています。

ルート記号の左上に小さく\(3\)と書いてありますよね。

この\(3\)が、3乗根だよという意思表示です。

4乗根なら\(4\)と書きますし、100乗根なら\(100\)と書くわけです。

例外的に、2乗根の場合には省略可能であり何も書きません。

 

累乗(るいじょう)

さて、では次に、累乗(るいじょう)の意味をおさらいしておきましょう。

累乗を最初に説明されるときには、きっと

「指定された回数、その数を掛け合わせることだ」

と教わるはずです。

それで当分の間はやっていけます。

そもそも、累乗の指数に分数を使うケースを教わらずに卒業する人も多いでしょう。

その場合は、何の疑問も持たずに済みます。

 

ですので、この説明が間違っている、とまでは言いにくいものがあります。

ただ、最初に書きましたように、それだと\(1/2\)乗は理解できません。

\(1/2\)回掛け合わせる、なんてことは出来るはずがないからです。

 

\(2\)の3乗とは、\(2\)を3回掛け合わせることですし、式にすれば、

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2$$

のことです。

また、\(2\)の3乗の4乗とは、\( (2^3)^4 \)のことであり、これは、

$$(2^3)^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2)$$

となります。

全てかけ算ですのでかっこを外すことが出来ますから、結局は\(2\)を12回掛け合わせることでもあるわけです。

$$(2^3)^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{12}$$

 

ここに累乗の法則が現れています。

\(A\)の\(x\)乗の\(y\)乗とは、\(A\)の\(x \times y\)乗に等しくなります。

$$(A^x)^y = A^{x \times y} = A^{xy}$$

これが\(1/2\)乗を理解するための基礎になりますので、これも覚えておいてください。

 

1/2乗がルートと等しくなる理由

さてそれでは、本題の解説に入りましょう。

 

今はまだ\(A^{1/2}\)がどういうものか分かっていません。

しかし、\((A^{1/2})^2\)が\(A^{2/2}\)であることは分かるはずです。

なぜならばすでに、

「\(A\)の\(x\)乗の\(y\)乗とは、\(A\)の\(x \times y\)乗に等しくなる」

$$(A^x)^y = A^{xy}$$

という事が定められているからです。

 

ということは\(A^{1/2}\)の2乗は\(A^1\)のことになり、\(A\)の1乗というのは、つまり\(A\)のことなのです。

$$A^{2/2} = A^1 = A$$

よって、\(A^{1/2}\)とは、2乗すると\(A\)になる数です。

$$A^{1/2}\text{の2乗} = A$$

 

さて、2乗すると\(A\)になる数のことをなんと呼ぶのだったでしょうか?

はい、平方根ですね。

ルートのことです。

そういうわけですから、

$$A^{1/2} = \sqrt{A} = \text{\(A\)の平方根}$$

ということになるわけです。

 

そしてこれが、下の図のようにさらに一般化されます。

「\(A\)の\(x/y\)乗は、\(A\)の\(x\)乗の\(y\)乗根に等しい」と読んでください。

 

例えば、\(8\)の\(3/5\)乗(\(8^{3/5}\))だったらどうなるかと言えば、

になります。

これは、この数が\(8\)の3乗の5乗根であることを表しています。

 

どうしてそうなるかと言えば、\((8^{3/5})^5\)は\(8^{15/5}\)に等しく、それは同時に\(8^3\)でもあるからです。

$$(8^{3/5})^5 = 8^{15/5} = 8^3$$

よって、\(8^{3/5}\)とは、5乗すると\(8^3\)に等しくなる数ですので、下記で示したような記号で表せる事になります。

 

こうしてみると、\(5^3\)とは\(5^{3/1}\)のことですので、\(5\)の3乗の1乗根だったわけです。

$$5^3 = 5^{3/1} = \sqrt[1]{5^3}$$

 

まとめ

  • \(A\)の\(x\)乗の\(y\)乗は、\(A\)の\(x \times y\)乗に等しい
  • \(A\)の\(1/2\)乗とは、2乗すると\(A\)になる数だから、\(\sqrt{A}\)のことである
  • 以下の式がすべてを表しています

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2018年8月30日数学の面白いネタ

Posted by yoshi