【数学クイズ・パズル】面白い数学クイズ・パズル – 難問編

2018年6月30日2020年5月17日

数学クイズ（難問編）その① – 外に出れる部屋を見つけよう

問題①

下の図のような10×10に並んだ部屋があります。

すべての部屋には別の部屋への扉ついており、上下左右の隣り合った部屋に移動が可能です。※斜めの部屋や部屋ではない場所（外）には移動できません。

部屋Aにいる人が、すべての部屋を一度ずつ通過したいと思っています。

このとき、最後に到達する部屋を部屋Bもしくは部屋Cとすることができるでしょうか？

次の選択肢から正しいものを選んでください。

1. 部屋Bと部屋Cの両方が最後の部屋になることができる
2. 部屋Bのみが最後の部屋になることができる
3. 部屋Cのみが最後の部屋になることができる
4. 部屋Bと部屋Cの両方とも最後の部屋になることができない

 

ヒント①

まずは、実際に部屋Aから色々な方法で移動して楽しんでみましょう。

すると、何となく答えに予想はつくと思います。

答えを、論理的に説明するには上のマスをチェス盤のように市松模様に塗ってみましょう。

何かに気づきませんか？

 

解答①

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その② – 白黒のパネルで敷き詰めれる部屋はどっち？

問題②

下の図のような2種類の部屋があります。※今度はすべてのマスを1部屋とみなしています。

この部屋を下の白黒のタイルで床を敷き詰めたいのですが、可能でしょうか？

 

以下の選択肢から正しいものを選びましょう。

1. 部屋AとBの両方とも敷き詰めることができる
2. 部屋Aのみ敷き詰めることができる
3. 部屋Bのみ敷き詰めることができる
4. どちらの部屋も敷き詰めることはできない

 

解答②

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その③ – りんごをみんなに分ける

問題③

りんご（まんじゅう）が10個あります。

このりんごをこれから5人（A, B, C, D, E）に分け与えようと思います。

ただし、りんごをもらえない人はいません。誰でも最低1個はもらうことができます。

（1人に6個与えて残りの4人に1個ずつという不平等もアリです）

 

さて、与え方は全部で何通りあるでしょうか？

1. 126 通り
2. 210 通り
3. 3125 通り
4. 30240 通り

 

ヒント③

高校の数学で学んだ\({_n}C_r\)を使います。

 

解答③

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その④ – 隠れている四角形の数を数えよ

問題④

以下のようのな小さな四角形で構成された図形があります。

このような図形を3×2タイプと呼ぶことにします。

この図形の中には四角形がいくつ隠れているでしょうか。

数えてみましょう。すると、

• 1×1タイプ … 6個
• 1×2タイプ … 3個
• 2×1タイプ … 4個
• 2×2タイプ … 2個
• 3×1タイプ … 2個
• 3×2タイプ … 1個

の合計18個見つかりました。

この程度の大きさの四角形であれば地道に数えることができます。

 

では、以下の図形（7×9タイプ）にはいくつの四角形が隠れているでしょうか。

 

ヒント④

上記のような7×9タイプの図形では、パターンが多すぎてとても地道にはカウントできません。

他の方法を考えましょう。

 

例えば、3×2タイプの図形は3+1本の縦の線と2+1本の横の線からできています。

 

つまり、m×nタイプの図形はm+1本の縦の線とn+1本の横の線からできているのです。

…ヒントはここまでにしましょう。

 

解答④

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その⑤ – 相手の考えている数字を当てよ

問題⑤

あなたは友人と数当てゲームをしています。

友人に3桁までの自然数（\(1 \sim 999\)）を3つ思い浮かべてもらいます。

これを\(x, y, z\)として、友人に、

$$ax + by + cz$$

の計算結果だけを教えてもらうようにしましょう。

つまり、

$$ax + by + cz = k$$

の式を一つ手に入れることができるのです。（\(k\)を教えてもらいます）

 

ただし、係数である\(a, b, c\)は自分で設定でき、計算は必要な分だけ\(a, b, c\)を変えて何回も行ってもらうことができます。

 

さて、この方法で\(x, y, z\)を当てるには、最低何回計算してもらえばよいでしょうか？

 

ヒント⑤

連立方程式を思い浮かべた人は、

「変数が3つだから式も3つ必要である、つまり答えは3回だ！」

と考えたのではないでしょうか？

 

…本当にそうでしょうか？

 

ヒントになってない？ごめんなさい。

 

解答⑤

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どうでしたでしょうか？

かなり難しいと思った問題を集めてみたのでが、これでも物足りないと感じたあなたはかなりの猛者です。

もっといろいろな数学パズル・クイズが知りたいと思った人や、もう少し簡単なものに挑戦したいという人は以下のページがオススメです。※物足りないと感じた人には申し訳ないですが、このページ以上に難しい問題は当サイトにはありません。