【中学2年数学(確率)】場合の数が分かれば確率が分かる

2020年5月11日

ここでの内容は、こんな人に向けて書いています
  • 「場合の数ってなに?」という人
  • 「求める方法はどんなものがあるの?」という人
  • 「場合の数と確率はどんな関係?」という人

確率を学ぶには、必ず場合の数を学ぶ必要があります。

ここでは、そんな重要な場合の数について学んでいきましょう。

このページの内容を読み終わったとき、場合の数について「だいたい、わかった!」となっていれば、中学の確率の攻略に一歩前進です。

まずは、”だいたい”でいいですよ。最初の一歩が一番困難で重要です。

【動画解説】
※記事の内容はもっと詳しい説明となっていますので、記事にも目を通してみてくださいね。

場合の数と確率

中学数学で確率を求めるとき、場合の数を知ることがとても重要です。

場合の数を知ることは、確率を知ること

とさえ言えます。

ここでは、確率を攻略するために、絶対に必要である”場合の数”について学んでいきましょう。

 

場合の数とは

場合の数とは、

重要ポイント

ある操作を行ったとき、ある事柄が起こる場合は何通りあるか

ということです。

文章で書いてもいまいちピンとこないので、例をだして説明しましょう。

 

例えば、一つのサイコロがあります。

このサイコロを一回振って、2の倍数が出る”場合の数”を考えましょう。

サイコロを振ると2の倍数が出る

場合の数は以下のようなものでした↓

ある操作を行ったとき、ある事柄が起こる場合は何通りあるか

この状況で、”ある操作”と”ある事柄”とは何でしょうか?

それは、”ある操作”とは”サイコロを振る”という行為、そして”ある事柄”とは”2の倍数が出る”ということです。

  • ある操作:サイコロを振る
  • ある事柄:2の倍数が出る

ある操作とある事柄

 

つまり、このときの場合の数を考えるときは、

サイコロを振ったとき、2の倍数の出かたは何通りあるか

を考えればいいということになります。

 

では、考えてみましょう。これは、簡単にわかりますね。

サイコロの目は1~6までなので、”2の倍数”は、サイコロの目の中では、2, 4, 6の3つですね。

サイコロの二の倍数

よって、”場合の数は3通り”ということになります。

 

どうでしょうか?場合の数がどのようなものかわかりましたか?

「まだちょっとわからない」という人へ向けてもう一つ例を出しましょう。

 

3人を並べる方法は何通り?

以下のようにAさん、Bさん、Cさんの3人がいます。

ABCの三人

この3人を並べ替えることを考えましょう。ただし、Bさんが一番左にくるときの場合の数を求めます。

 

ここでもう一度、場合の数について思い出だすと、

ある操作を行ったとき、ある事柄が起こる場合は何通りあるか

でした。”ある操作”と”ある事柄”とは何でしょうか?

ここで、ある操作とは3人を並び替えること、ある事柄とは並び替えたときにBさんが一番左にくる並び方のことですね。

  • ある操作:3人を並び替える
  • ある事柄:Bさんが一番左にくる

よって、

3人を並び替えたとき、Bさんが一番左にくる場合は何通りであるか?

ということを考えることになります。

 

では、考えていきましょう。

Bさんが一番左にくるのですから、真ん中と一番右に誰がくる可能性があるかを考えます。

ABCの三人_Bさんが一番左にくる場合

一つ目のパターンはAさんが真ん中にくる場合です。このときは、当然Cさんが一番右にくることになります↓

ABCの三人_Bさんが一番左にくる場合_BAC

 

続いて、Cさんが真ん中にくるパターンもあり得ます。この場合は、Aさんが一番右にくることになります↓

ABCの三人_Bさんが一番左にくる場合_BCA

 

その他のパターンはありませんね。よって、

3人を並び替えたとき、Bさんが一番左にくる場合は何通りであるか?

という質問に対する答えは「2通り」ということになります。

なので、このときの場合の数は2通りということになります。

 

場合の数の考え方をまとめる

これで、場合の数について何となくわかりましたか?

求め方についてまとめます。

 

まず、場合の数とは、

ある操作を行ったとき、ある事柄が起こる場合は何通りあるか

を考えることでした。

そのためには、「ある操作」と「ある事象」が何かを知る必要がありました。

 

ある操作とは、例えば、

  1. サイコロを投げる
  2. 並び替える
  3. くじを引く

などという動作になります。

次に、ある事象とは、上の操作に対して、

  1. 奇数の目が出る
  2. 最後にAがくる
  3. 最初にはずれを引く

という結果になります。

 

操作と事象を決めれば、あとはそのようになる場合は何通りあるかを数えます。

それが場合の数です。

 

すべての場合の数

ついでに、”すべての場合の数”についても学んでおきましょう。

これは、確率の問題で必ず必要になってくるものです。

ここまで理解できた人ならまったく難しいことではありません。

 

”場合の数”の前に”すべての”がついていますね。

そのままの意味で考えましょう。

つまり、”すべての場合の数”とは、

ある操作を行ったとき、起こりうるすべての場合は何通りあるか

という意味です。

 

ここまでは、

  • サイコロの目が2である場合
  • Bさんが一番左にくる場合

など、ある事象に対して条件がありました。

しかし、すべての場合の数を考えるときは、このような場合は考えません。

起こりうるすべての場合を考えるのです!

 

またまた、サイコロを振った場合を例として考えましょう。一度だけサイコロを振ります。

このとき、ある操作は”サイコロを振る”という行為です。

そして、この操作を行ったとき、”起こりうるすべての場合”は1~6の目のどれかが出るということですね。

サイコロを振った時のすべての出る目

$$起こりうるすべての場合 = \text{すべてのサイコロの目}(1,2,3,4,5,6)\text{のどれかが出る}$$

ということは、”すべての場合の数は6通り”ということになります。

 

繰り返しますが、場合の数が

「ある場合になるのは何通りか」

を考えるのに対して、すべての場合の数は、

「すべての場合は何通りか」

を考えることになります。

この「すべての場合の数」と「場合の数」は確率も求めるために、すごく重要なことですので絶対にマスターしてくださいね。

ここまでが、場合の数について今回マスターして欲しかった内容です。

 

場合の数を求める二つの方法

ここからは、おまけとして、どのように場合の数を求めるかを紹介しておきます。

 

中学の数学で、場合の数を求める方法は、大きく分けて二つの方法があります。

それは、

  1. 樹形図(じゅけいず)を描く方法
  2. 表を使う方法

です。

このページでこの二つの方法について分からなくても大丈夫です。

ここでは、「こんな感じの方法があるんだぁ」ぐらいの気持ちで読んでおいてください。

それぞれの詳しいページへのリンクを貼っていますので、上の2つの方法についてもっと知りたいそちらで学んでくださいね。

 

樹形図を描く方法

”樹形図(じゅけいず)”とは、下の画像のような図です。

なんだか、樹木の枝のような形をした図ですね。

なので、樹形図と呼ばれています。

 

この樹形図は、場合の数を求めるときに使う便利な方法です。

しかも、原理的にはどんな場合にも使える方法なので、迷ったら樹形図を使って問題を解くことになります。

樹形図に関しては、以下のページで詳しく解説しています。

 

表を使う方法

もう一つの方法は、表を使う方法です。

下のような表を描いて、場合の数を求めます。

 

表を使う方法は、樹形図と違って、使える場面が限られています。

しかし、使える場面ではすごくわかりやすく、そして素早く、さらにミスが少なく場合の数を求めることができる方法です。

 

例えば、よく表が使われる場面に、”二つのサイコロを使った確率の問題”があります。

サイコロA(1個目)とサイコロB(2個目)を振って、その出た目がある条件を満たす場合の確率を求める問題です。

このとき、表を使って”すべての場合の数”と”条件を満たす場合の数”を求めることで、簡単に確率が求まってしまいます。

下の表は、そのときに描くことになる表の例です。(意味は分からなくていいですよ。イメージだけ掴んでください。)

全部で36(=6×6)のマスがあり、その中に4つの〇がありますね。このような表から、

  • すべての場合の数は36通り
  • ある条件での場合の数は4通り

ということが簡単にわかる方法となっています。

 

表を使った場合の数を求める方法は、以下のページで詳しく解説しています。

 

場合の数がわかれば、確率もわかる

このページのはじめに、

場合の数を知ることは、確率を知ること

と言いました。

なぜ場合の数がわかれば、確率がわかるのでしょうか?

 

それは、確率が次の公式で求めることができるからです。

$$\text{確率} = \frac{ある事柄が起こる場合の数}{すべての場合の数}$$

 

公式の分子(ある事柄が起こる場合の数)も、分母(すべての場合の数)も場合の数です。

なので、場合の数が求まれば、確率もわかってしまうのですね。もう皆さんは分母と分子のどちらの意味もわかっていますよね。

 

では、この公式を使って一つだけ確率の問題を解いてみましょう。

 

例えば、一つのサイコロを振ったとします。

このとき、サイコロの目が偶数となる確率はどのくらいでしょうか?

サイコロの目は1~6までの目があり、このうち偶数は2, 4, 6の3通りです。

ですので、上の公式で、分子の”ある事柄が起こる場合の数”は\(3\)となります。

 

また、分母の”すべての場合の数”は、サイコロの目は6通りあるので、\(6\)です。

 

よって、公式に代入すると、

$$\frac{ある事柄が起こる場合の数}{すべての場合の数} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

となりますね。

一つのサイコロを振ったとき、その目が偶数となる確率は\(\frac{1}{2}\)となります。

二つの”場合の数”を使って確率が求まりましたね。

 

まとめ

ここでの目標は、

  • ”場合の数”とは何か?
  • そして、”すべての場合の数”とは何か?
  • 場合の数を求める方法には二つ方法がある(樹形図と表)←これは何となくそんなのもあるんだぁくらいでオッケー
  • 場合の数がわかれば、確率がわかる

ということを知ってもらうことでした。

 

目標は達成できたでしょうか?

特に、”場合の数”と”すべての場合の数”の意味は、ここでしっかりと理解しておきましょうね。

わかりにくかった部分は、下のコメント欄から質問してもらえれば、できるだけわかりやすいように答えますので、気軽にどうぞ。

 

では、最後に重要ポイントをまとめて終わりましょう。

重要ポイント

”場合の数”と”すべての場合の数”は、

  • 場合の数 ⇒ ある操作を行ったとき、ある条件を満たす事象が何通りあるか
  • すべての場合の数 ⇒ ある操作を行ったとき、すべての事象が何通りあるか

でした。

ある操作は、なにかの動作を表す。ある事象は、操作によるある結果を表す。この2つを決めてやればあとはそのパターンを数えるだけ。

 

場合の数を求める方法は、

  • 樹形図を描く
  • 表を描く

の二通りがありました。

 

確率の公式は、

$$\text{確率} = \frac{ある事柄が起こる場合の数}{すべての場合の数}$$

で表せるため、場合の数がわかれば、確率もわかります。

以上、お疲れさまでした。


※コメントの反映には少し時間がかかります

2020年5月11日中学数学, 確率

Posted by yoshi