余弦定理の覚え方 – 語呂合わせやイメージで暗記しよう

2018年9月17日

ここでの内容は、こんな人へ向けて書いています

  • 余弦定理の公式がなかなか覚えられない
  • 余弦定理の語呂合わせを知りたい
  • 余弦定理を語呂合わせに頼らず覚えたい

余弦定理の覚え方を紹介します。

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A} \\
b^2 &= c^2 + a^2 – 2ca \cos{B} \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos{C}
\end{align}

  • 図をイメージして覚える方法
  • 語呂合わせで覚える方法
  • 三平方の定理を利用して覚える方法

の三つを説明しますので、自分にあった方法で覚えてくださいね。

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余弦定理は覚えるしかないのか?

余弦定理は、高校数学の三角関数の公式の一つです。

非常に重要な公式の一つであり、三角関数のテストでは必ず使用すると言っていいでしょう。

余弦定理

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A} \\
b^2 &= c^2 + a^2 – 2ca \cos{B} \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos{C}
\end{align}

パッと見はすごく複雑な形をしていますね。

テストでこの公式を忘れてしまったら…もうお手上げ状態ですね…

 

一応、公式を忘れてしまっても自力で導くことも不可能ではありません。

以下の記事では、余弦定理がどのように導かれるかを紹介しています。

この方法であれば、定理を覚えていなくとも何とかなるでしょう。

 

しかし、現実的にテスト中、そんな悠長(ゆうちょう)なことはやってられません。

そんな時間があったら、他の解ける問題を解いていった方が確実にテストの点は上がります。

 

したがって、「公式は覚えるしかない!」のです。

数学は暗記科目ではないと言いながら、覚えることがたくさんあって私は嫌でした手数料……がどうしようもありません。

 

ここは、余弦定理の覚え方をいくつか紹介します。

その中から自分が覚えやすい方法を見つけてくださいね。どれか一つでいいですよ。

 

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三つの式は実は一つ

余弦定理は、以下のように三つの式があります。

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A} \\
b^2 &= c^2 + a^2 – 2ca \cos{B} \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos{C}
\end{align}

しかし、これら三つの公式は基本的にすべて同じ形をしています。

なので、どれか一つを覚えれば、あとは\(a, b, c\)と\(A, B, C\)を回転させるだけですべての式が導けます(下の図を参照)。

一番上の公式を覚えれば、あとは

$$a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a$$

の順番で、一つずつ文字を進めれば、次の公式が導けます。

 

よって、ここから先は一番上の、

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A}
\end{align}

を覚えるための方法を紹介していきます。

 

覚え方① – 三角形をイメージして覚える

まずは、一番シンプルな覚え方です。

あまり芸がありませんが、覚えられるならこの方法が一番いいです。

理由は、図形をイメージして覚えれるため、余弦定理の使うときにそのまま当てはめることができるからです。

 

人間は、無味乾燥(むみかんそう)なものを覚えるのが非常に苦手な生き物です。

無味乾燥なものの代表例はまさに数式です。

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A}
\end{align}

ですので、数式をそのまま覚えようとせず、三角形の図をイメージして画像で覚えようとした方が記憶に残ります。

 

まずは、三角形をイメージしてください。

そのとき、三辺の長さを\(a\), \(b\), \(c\)としてイメージします(下の画像)。

 

\(a\)についての公式を覚えたいので、\(a\)の二乗が公式の左辺にくると覚えます。

 

次に、右辺を考えていきます。

右辺は、まず\(a\)の両サイドの\(c\)と\(b\)の二乗を足したものが入ります。

 

次は、両サイドの文字を掛けて、それに\(2\)を付けたものを引きましょう。

ここだけは、「引く」と覚えておいてください。

 

最後に、左辺の辺(ここでは\(a\))の対角の角度をコサインをとったものを\(-2bc\)に掛けて終了です。

 

これで、余弦定理の公式が完成です。

\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos{A}
\end{align}

 

この覚え方は、特別な方法を使ったものではありません。

しかし、この方法で覚えていれば、実際の問題に公式を使用するときに、スムーズに使えるでしょう。

 

覚えるときに特に意識して欲しいのは、頭の中で三角形をイメージして、公式を構成するときの辺の場所、角度の場所を思い出すことです(下の図)。

 

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語呂合わせで覚える方法

語呂合わせで余弦定理を覚える方法です。

あまり余弦定理に関する語呂合わせは開発されていないようです。

 

ここでは、二つの方法を紹介しましょう。※思いついたらもっと増やしていく予定です。

 

語呂合わせ(その①):煮干しが帽子の中に!

一つ目は、

え?、帽子内に煮干しをこさえてる?

です。

 

こんなシーンを思い浮かべてください。

友達とあったら、その友達のかぶっている帽子の中に煮干しが入っている

こんなときに、一言、

「えっ?、帽子内に煮干しをこさえてる?」

です。

 

これが余弦定理を表しているのでしょうか。解説していきましょう。

まず、初めの「えっ?」が左辺の\(a^2\)です。

「えっ」→「えー(a)」→\(a^2\)

 

次に「帽子内に」ですが、これは、

「帽子」→「ボーシ」→「b(ビー)c(シー)」→「b^2+c^2」

です。「内」は、「無い」と意味を置き換えると、マイナスを連想できます。

「内」→「無い」→「マイナス」

 

次は、「煮干し」です。これは簡単に「\(2bc\)」とつなげることができたのではないでしょうか。

 

最後に「こさえてる」です。「こさえる」とは「こしらえる」「作る」といった意味です。

ですので、「こさえてる?」とは「作ったの?」「持ってきたの?」という意味になります。

この「こさえ」の部分が\(\cos{A}\)の部分に対応しています。

「こさえ」→「コサイン、エー」→\(\cos{A}\)

 

これで、

「えっ?、帽子内に煮干しをこさえてる?」

が余弦定理とつながりました。

最後に下の図にまとめておきましょう。

 

語呂合わせ(その②):美人コンテストで波乱

この語呂合わせは以下のサイトで動画で紹介されていたものです。

余弦定理の語呂合わせが紹介されている数少ない記事の一つでした。

 

語呂合わせは、

「美人は、アニータ死に、マニアック娘(こ)、サンバ」

です。

 

ストーリーはこんな感じらしいです。

高校の美少女コンテストで有力候補のアニータが急死、時点はおかっぱネコ耳のマニアック娘。みごとトップになった娘は喜びのサンバを踊り出す。

 

では、

「美人は、アニータ死に、マニアック娘(こ)、サンバ」

と余弦定理をつなげていきましょう。

この文とつなげる余弦定理は、

\begin{align}
b^2 &= c^2 + a^2 – 2ca \cos{B}
\end{align}

です。\(b\)に関する余弦定理ですね。

 

まず、「美人は、」は下のような変形から左辺の「\(b^2\)」になります。

「美人は、」→「びーじーん」→「ビーのジジョウ」→ \(b^2\)

 

次に、「アニータ死に、」ですが、これは公式の\(c^2\)と\(a^2\)の順番を入れ替えた、\(a^2+c^2\)と対応します。

「アニータ死に、」→「エー2、シー2」→ \(a^2+c^2\)

 

「マニアック娘(こ)、サンバ」は、

  • 「マ」→「マイナス 」→ \(-\)
  • 「ニ」→ \(2\)
  • 「アック」→ \(ac\) → \(ca\)
  • 「娘(こ)、サンバ」→「コサイン、ビー」→ \(\cos{B}\)

と変換すれば、

「マニアック娘(こ)、サンバ」→ \(-2ca \cos{B}\)

が導けます。

 

まとめましょう。

\(b^2\)についての余弦定理、

\begin{align}
b^2 &= c^2 + a^2 – 2ca \cos{B}
\end{align}

は、

「美人は、アニータ死に、マニアック娘(こ)、サンバ」

と覚えます。

 

お願い

二つの語呂合わせを紹介しましたが、もっと良い語呂合わせを見つけたいです。

「こんなのはどうだ!」というアイディアを持っている方は是非、下のコメント欄から教えてください。

 

 

三平方の定理の変形系と覚える

三つめは、余弦定理を

三平方の定理が変形した形

として覚える方法です。

 

三平方の定理は誰しもが知っている有名な公式であり、直角三角形に対して以下の式が成り立つというものです。

$$a^2 = b^2 + c^2$$

 

この三平方の定理と余弦定理を見比べてみましょう。

【余弦定理】

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos{A}$$

【三平方の定理】

$$a^2 = b^2 + c^2$$

 

よく見ると、前半の部分が同じではありませんか!

違いは、

$$-2bc\cos{A}$$

の部分だけです。

 

ですので、余弦定理を書くとき、まずは三平方の定理を書きましょう。

※ここで、\(a\)が斜辺となる三平方の定理を書かなければいけないことには注意してください。

そして、それに\(-2bc\cos{A}\)をつければいいのです。

 

覚え方ですが、語呂合わせを混ぜて、

三平方の定理 +「毎回、煮干しこさえて」

ではどうでしょうか?

 

なぜ、余計なものがついているのか

なぜ、三平方の定理に\(-2bc\cos{A}\)という余計なものがついているのでしょうか?

それを考えていきましょう。

 

三平方の定理と余弦定理の違いは、

三平方の定理は直角三角形にしか使えないが、余弦定理はすべての三角形に使える

ということです。

よって、余弦定理はすべての三角形に使えるようにするため、\(-2bc\cos{A}\)が付いていると言えます。

 

もう少し詳しく説明しましょう。

三平方の定理は、斜辺の長さ(の二乗)が他の二つの辺の長さ(の二乗)を足すことで求められるということです。

 

しかし、これが直角三角形ではなくなると、\(a\)の長さはどうなるでしょうか?

以下に図を書いて比較しました。

上の図から分かるように、\(b\)の長さ(三角形の底辺)と三角形の高さを変えずに、直角三角形でなくすると、以下のような辺の長さの変化がおきます。

  • \(c\)は長くなる
  • \(a\)は短くなる

 

これを式と照らし合わせると、

です。

これでは、右辺の方が大きくなり、等式が成り立たなくなってしまいます。

 

この等式を成り立つようにするには、右辺を小さくしてあげる必要がありますね。

そこで登場するのが、「\(-2bc\cos{A}\)」です。

これだけ分、右辺を小さくしてやることで、等式を成り立たせているのです。

これが余弦定理です。

 

ここでは、感覚的な説明をしましたが、数学的に正確な証明は以下の記事で行っていますので、興味のある人はどうぞ。

 

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まとめ

  • 余弦定理の覚え方を三つ紹介しました。
    1. 図をイメージして覚える方法
    2. 語呂合わせで覚える方法
    3. 三平方の定理を利用して覚える方法
  • 自分が一番覚えやすい方法で覚えていきましょう。

※コメントの反映には少し時間がかかります

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