【高校数学（因数分解）】2次式の因数分解をなるべく公式に頼らず解く方法

2018年8月8日2018年9月8日

因数分解の公式…を覚えない！

因数分解の基本公式を覚えることが一番いい方法なのは間違いありません。

\begin{align}
\text{① } & x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 \\
\text{② } & x^2 – 2xy + y^2 = (x-y)^2 \\
\text{③ } & x^2 – y^2 = (x+y)(x-y) \\
\text{④ } & x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
\end{align}

これが一番早いですし、応用問題にも使えるようになります。

 

しかし、もうこの時点で、

「嫌だな。」、「覚えたくないな」

と思ってしまった場合、公式を全部は覚えなくてもオッケーです。

ですが、③の公式だけは覚えてください！

ほかの公式は今は覚えなくても因数分解は解けます。

 

なので、

この記事ではなるべく公式を使わない解き方を説明していきます。

 

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２次式の因数分解の解き方

公式を覚えるよりも解き方を覚えてしまった方が簡単です。

まずは２次式の因数分解を解くための考え方を理解しましょう。

 

では早速、問題を解いていきます。

 

問題①

まず因数分解をする場合、問題の式の下に（　）を２つ作りましょう。

\begin{align}
x^2 + 4&x + 4 \\
( \qquad )&( \qquad )
\end{align}

 

次に（　）の中に文字と数字を入れていきましょう。

（　）の赤マル、青マルのところに入る文字、数字を考えます。

考え方は赤マルと青マルを掛け算した結果が\(x^2\)になるように数字や文字を入れます。

さて○に何を入れれば\(x^2\)になるでしょうか？

そう、\(x \times x = x^2\)になるので赤マルと青マルに入るのは\(x\)ですね！

\begin{align}
x^2 + 4&x + 4 \\
(x \qquad )&(x \qquad )
\end{align}

人によっては\(x^2 \times 1 = x^2\)でもなるのでは？

\begin{align}
x^2 + 4&x + 4 \\
(x^2 \qquad )&(1 \qquad )
\end{align}

と疑問に思うでしょう。

それも正しいのですが上級編になるので、ここでは、

「赤マル、青マルの差をできるだけ無くす」

と覚えておきましょう！

 

では次に同じ要領で（　）の右側に入る文字、数字を考えましょう。

今度は、赤マルと青マルを掛け算して一番右側の数字になるようにします。

 

つまり、ここでは赤マルと青マルを掛け算した結果が\(+4\)になるように入れるということです。

掛け算して\(+4\)となるのは、以下の４つのパターンが考えられますね。

\begin{align}
& 4 \times 1 \\
& 2 \times 2 \\
& -4 \times -1 \\
& -2 \times -2
\end{align}

この４つの組み合わせから選ばなくてはいけません。

 

どのようにして選べばよいでしょうか？

それには、問題の式の真ん中の数字に着目します。

\(+4\)ですね。

なので、数字の組み合わせの選び方は足し算をして\(+4\)になるものを選びます。

上の図のように因数分解では、赤マルと青マルを足した結果が緑の四角にならなければいけません。

この組み合わせの中で足して\(+4\)になるのは\(2 \times 2\)ですね。

 

これで、（　）の中がすべて決まりました。

\begin{align}
x^2 + 4&x + 4 \\
( x + 2 )&( x + 2 )
\end{align}

です。

よく見てみると\(( x + 2 )( x + 2 )\)の式は同じ形にになっていますね。

このような場合はまとめて\(( x+2 )^2\)としましょう。

よって、

\begin{align}
x^2 + 4x + 4 & = (x + 2 )(x + 2) \\
& = (x + 2 )^2
\end{align}

 

勘が良い人は気づくかもしれませんが、これは最初に話した公式①に当てはまっています。

\begin{align}
\text{① } & x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2
\end{align}

 

もちろん公式を使って解いても大丈夫です。

しかし、このように因数分解のやり方を理解しておくと、覚えていなくても解くことができてしまうのです。

 

では次の問題も解いてみましょう。

 

問題②

今度はー（マイナス）が入っていますが、落ち着いて解いていきましょう。やり方は全く同じです。

まず（　）を２つ作ります

\begin{align}
x^2 – 4&x + 4 \\
( \qquad )&( \qquad )
\end{align}

 

先ほどと同じ要領で（　）の赤マル、青マルのところに入る文字、数字を考えます。

今回も入るのは\(x\)ですね。

\begin{align}
x^2 – 4&x + 4 \\
( x \qquad )&( x \qquad )
\end{align}

 

では次に（　）の右側に入る文字、数字を考えましょう。

 

赤マルと青マルを掛け算した結果が\(+4\)になるように入れます。

すると以下の４つのパターンが考えられます。

\begin{align}
& 4 \times 1 \\
& 2 \times 2 \\
& -4 \times -1 \\
& -2 \times -2
\end{align}

 

問題の式の真ん中の数字を確認して、この数字の組み合わせのどれを使うかを決めます。

選び方は足し算をして\(-4\)になるものを選びましょう。

 

足して\(-4\)になるのは\(-2 \times -2\)の組み合わせです。

よって赤マル、青マルにはいる数字は\(-2\)となります。

\begin{align}
x^2 – 4&x + 4 \\
( x – 2 )&( x – 2 )
\end{align}

です。

またまた\(( x – 2 )( x – 2 )\)の式は同じ形にになっていますね。

このような場合はまとめて\(( x-2 )^2\)としましょう。

よって、

\begin{align}
x^2 – 4x + 4 & = (x – 2 )(x – 2) \\
& = (x – 2 )^2
\end{align}

これは最初に話した公式②に当てはまっています。

\begin{align}
\text{② } & x^2 – 2xy + y^2 = (x-y)^2
\end{align}

どうですか？公式を覚えなくても因数分解はできるんですよ！

 

イメージで解き方を覚えよう

さて、基本的な因数分解のやり方を説明しました。

言葉の説明だと覚えきれない部分があると思います。

説明を図にまとめましたので、イメージで覚えるとよいでしょう。

 

まずは、問題の式の下に二つの（　）を書き、（　）の左側には両方\(x\)が入るまでは自動的にイメージしましょう。

あとは右側の空白に何が入るかを考えます。

 

次は以下のような図をイメージしてください。

黒い矢印は掛け算、水色の矢印は足し算と考えてください。

• 赤マル×青マル＝オレンジの四角
• 赤マル+青マル＝緑の四角

を同時に満たす数字を探せばいいのです。

 

このイメージができれば因数分解が得体の知れないものではなくなり、苦手意識は吹っ飛びます。

ゆっくりでいいので頭を整理しながら少しずつ進めましょう。

このイメージを使って練習問題を解いてみましょう。

 

問題③

下のイメージからスタートします。

 

まず、

赤マル×青マル＝オレンジの四角（\(-8\)）

を考えましょう。

組み合わせとして可能性があるのは、

\begin{align}
& -1 \times 8 \\
& 1 \times -8 \\
& -2 \times 4 \\
& 2 \times -4
\end{align}

ですね。

 

次に、この組み合わせの中から、

赤マル+青マル＝緑の四角（\(+2\)）

になるものを考えます。

足して\(+2\)になるのは\(-2\)と\(4\)の組み合わせですね。

 

つまりこの式を因数分解すると以下のようになります。

今回は（　）の中身が同じではないのでこのままで終わりです。

これは、因数分解の公式④ですね。

\begin{align}
\text{④ } & x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
\end{align}

 

さて、ここまで理解できましたか？

理解できたのならば公式の①、②、④まで理解したことのなります！

\begin{align}
\text{① } & x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 \\
\text{② } & x^2 – 2xy + y^2 = (x-y)^2 \\
\text{④ } & x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)
\end{align}

 

何度も言いますが、公式は覚えなくても解けるのです。

 

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公式③だけは覚えた方がよい

では、最後にこの問題を解きましょう。

最初に言いますと、この問題は公式③を使って解いた方が簡単です。

なので、この問題の形が出てきたときは公式③を思い出しましょう。

\begin{align}
\text{③ } & x^2 – y^2 = (x+y)(x-y)
\end{align}

 

公式③を使ってこの問題を解いてみましょう。

まず、\(16\)は\(4 \times 4\)と直すことができます。さらに、\(4 \times 4\)は\(4^2\)に直すことができますよね。

すると問題の式は以下の式になります。

\begin{align}
x^2 – 16 = x^2 – 4^2
\end{align}

この式を見ると、公式③の\(y\)を\(4\)に置き換えてみると公式と一致しているのがわかりますか？

すると答えは、

\begin{align}
x^2 – 16 & = x^2 – 4^2 \\
& = (x+4)(x-4)
\end{align}

となります。

どうでしょうか？

この問題は公式を覚えた方が簡単で早そうですね。

こちらをお勧めします。

 

まとめ

ここでは、2次式の因数分解の解き方を説明してきました。

最初の形の作り方、文字や数字の当てはめ方などがわかれば公式はそこまで覚えなくても解けることがわかりました。

 

では、以下に重要なポイントをまとめて終わりましょう。