【中学2年数学(確率)】くじを使った確率の問題を攻略しよう

2019年10月6日

ここでの内容は、こんな人に向けて書いています
  • くじが出てくる確率の問題が苦手
  • くじを使った確率の問題をいろいろ知りたい
  • くじの確率問題で注意するポイントや解くコツを知りたい

くじは私たちの日常生活の中でもよく登場します。

なので、確率の問題にもよく出題されるテーマとなっています。

ここでは、そんなくじが登場する問題を解くためのコツを、実際に例題をときながら、丁寧に解説していきます。

【動画解説】
※記事の内容はもっと詳しい説明となっていますので、記事にも目を通してみてくださいね。

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くじの確率問題を攻略しよう

このページは中学数学の確率のなかでも、とくに”くじ”が登場する問題を解く方法やコツについて紹介していきます。

実際に問題を解きながら、重要なポイントについて解説していきますので、ゆっくりと焦らず進めていってくださいね。

 

このページを読み終わったときには、くじが出てくる確率の問題は、

「まったく、怖くないよ」

と言えるようになってくれることを目標にしています。

 

それでは、はじめていきましょう。

 

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アタリくじとハズレくじ

”くじ”を使った確率の問題で、非常に重要なポイントがあります。

問題を解きはじめる前に、まずはそのポイントから説明しましょう。

 

重要なポイント、それは、

一度引いたくじを箱に戻すか、戻さないか

です。

 

例えば、くじの確率の問題では、当然くじを引くのですが、1回ではなく2回引く場合が多いです。

問題文の例を示すと、

問題文の例

箱の中に2本のアタリくじと、3本のハズレくじが入っています。この箱から2回くじを引くとき、…

のような感じです。

 

このとき、問題は次の2パターンに分かれます。

  • 1回目に引いたくじを箱に戻して、2回目を引く場合
  • 1回目に引いたくじを箱に戻さずに、2回目を引く場合

この2つです。

 

どちらのパターンであるかによって、問題の解き方が少し変わってきますので、まずはこの2パターンの違いについて、問題を解きながら説明していきましょう。

 

くじを戻して2回目を引く場合

まずは、くじを箱に戻して2回目のくじを引く場合です。

次の問題を考えていきましょう。

例題 – 箱にくじを戻す

箱の中に2本のアタリくじと、3本のハズレくじが入っています。

この箱から2回くじを引くとき、次の確率を求めなさい。

1回目に引いたくじを箱へ戻し、2回目のくじを引くとき、引いたくじが2回ともハズレである確率

このように、問題文に”1回目に引いたくじを箱へ戻し…”と書いてあります。

この問題を解いていきましょう。

 

引いたくじが2回ともハズレである確率は、1回目にハズレを引く確率と、2回目にハズレを引く確率を掛ければよいです。

さらっと言いましたがこれは重要なことです。

このページの後半で詳しく説明しますが、

2回続けてくじを引いたときの確率は、それぞれ1回目と2回目の確率を掛け算することで、最終的な確率が求まる

のです。

 

では、1回目にハズレを引く確率から求めてみましょう。

5枚のくじの中にハズレくじは3枚あるので、

$$\text{1回目にハズレを引く確率} = \frac{3}{5}$$

となりますね。

 

次に、2回目にハズレくじを引く確率です。

ここで注意するのは、1回目に引いたくじの行方(ゆくえ)です。

問題文には「1回目に引いたくじを箱へ戻し…」とありますので、1回目に引いたくじは箱の中にあ戻っていますね。

ということは、箱の中のくじの状態は、最初と同じ状態です。

 

ということは、2回目にハズレを引く確率も1回目と同じですね。

なので、

$$\text{2回目にハズレを引く確率} = \frac{3}{5}$$

となります。

 

あとは、1回目と2回目の確率を掛ければ、2回ともハズレである確率となるので、

$$\text{2回ともハズレである確率} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$$

となります。

 

ここまでは、いいですか?

わかりにくいところがあれば、下のコメント欄から質問してくださいね。

 

くじを戻さずに2回目を引く場合

次に、1回目に引いたくじを箱に戻さすに2回目のくじを引きます。

 

例題 – 箱にくじを戻さない

箱の中に2本のアタリくじと、3本のハズレくじが入っています。

この箱から2回くじを引くとき、次の確率を求めなさい。

1回目に引いたくじを箱へ戻さずに、2回目のくじを引くとき、引いたくじが2回ともハズレである確率

 

問題文は前とほとんど変わっていません。

唯一、最後の”箱へ戻さずに”という部分が変わっているだけです。

 

この場合を考えていきましょう。

1回目のくじでハズレを引く確率は、前に求めたものと同じですね。

$$\text{1回目にハズレを引く確率} = \frac{3}{5}$$

です。

 

注意すべきは、次の2回目のくじを引く場合です。

1回目に引いたくじの行方(ゆくえ)はどうなったでしょう?

問題文は”箱へ戻さず”ということだったので、箱の中にはないことは確かです。

 

ということは、箱の中の状態は1回目にくじを引いたときとは、くじの状態が変わっていますね。

1回目でハズレくじを引いた場合を考えているので、2回目にくじを引くときは箱の中のハズレくじは1枚減っている状態のはずです。

  • アタリが2枚
  • ハズレが2枚

となっているはずですね。

 

この中からハズレくじを引く確率は、

$$\text{2回目にハズレを引く確率} = \frac{2}{4}$$

となりますね。

 

よって、1回目と2回目の確率を掛け算して、

$$\text{2回ともハズレである確率} = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$$

となります。

 

確率を比べてみよう

くじを箱に戻す場合と戻さない場合の2つのときの確率がそれぞれ求まったので、比較してみましょう。

2回くじを引いて2回ともハズレである確率は、

  • くじを箱に戻す場合:\(\frac{9}{25} = 0.36 = 36\%\)
  • くじを箱に戻さない場合:\(\frac{3}{10} = 0.333 = 33.3\%\)

でした。

 

これより、若干ですがくじを箱に戻す場合の方が、ハズレくじを2回引く可能性が高いことがわかりますね。

このように、箱に戻すときと戻さないときで答えが変わってきます

よく問題文を読んで、どちらのパターンなのかを確認してから問題を解きましょう。

 

くじ連続で引く場合は、掛け算する

次は、もう一つ重要なポイントについて、説明します。

それは、

くじを連続で引くときの確率は、それぞれの確率を掛け算する

ということです。

 

どういうことでしょうか?

以下の問題を例に説明していきます。

問題

箱の中に2本のアタリくじと、2本のハズレくじが入っています。

この箱から2回くじを引くとき、次の確率を求めなさい。

1回目に引いたくじを箱へ戻して2回目のくじを引くとき、引いたくじが2回ともアタリである確率

まず、1回目と2回目にアタリくじを引く確率を求めましょう。

”1回目に引いたくじは箱へ戻す”ため、1回目と2回目にアタリくじを引く確率はどちらも、\(\frac{1}{2}\)となります。

\begin{align}
\text{1回目にアタリくじを引く確率} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\
\text{2回目にアタリくじを引く確率} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{align}

となります。

 

そして、これから2回ともアタリくじである確率は、1回目と2回目の確率を掛けて

$$\text{2回ともアタリくじである確率} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

となります。

\(\frac{1}{4}\)というと、\(25\)%ですね。

 

ここで言いたいことは、

連続して起こる確率を求めるときは、1回目と2回目…の確率を掛け算して求める

ということです。

足し算するのではないということに注意してください。

なぜ足し算ではなく掛け算なのか

では、なぜ足し算ではなくて掛け算になるのでしょうか?

ちゃんとした説明は難しいですが、足し算がなぜダメなのかはすぐにわかります。

 

試しに足し算で求めると、

$$\text{2回ともアタリくじである確率} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

となります。

すると、答えは\(1\)です。\(1\)は\(100\)%ということですね。

確率が\(100\)%ということは、絶対にそうなるということです。

 

いま考えている問題は、下の図のように、アタリくじとハズレくじが2本ずつ入っている箱から2回くじを引いて、2回ともアタリがでる確率です。

その答えが100%というのは、明らかにおかしいことがわかりますよね。

 

なので、足し算で求めるのは、間違いなのです。

掛け算で求めましょう。

 

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まとめ

お疲れさまでした。

くじを使った確率の問題の解き方のコツを紹介してきましたが、どうでしたか?

 

くじは私たちの生活で時々見かける身近なものです。

例えば、

  • 学校のクラスの係決め
  • 福引
  • 宝くじ

などがありますね。

 

そのため、確率の問題でもよく出題されるテーマとなっています。

ここで学んだことをしっかりと理解すれば、たいていの基本的な問題は解けるようになっているはずです。

 

では、最後に重要ポイントを復習して終わりましょう。

重要ポイント

くじの確率の問題は、1回目に引いたくじを、

  • 箱に戻す
  • 箱に戻さない

かで解き方が変わってくることに注意する。

問題文をよく読んで、どちらのパターンであるかを調べよう。

 

連続でくじを引いたときにある状態になる確率は、それぞれ1回目と2回目の確率を掛けることで求める。

足し算ではなく、掛け算であることに注意。

では、さようなら。

質問は下のコメント欄から気軽にしてくださいね。


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2019年10月6日中学数学, 確率

Posted by yoshi