【中学数学】必見！苦手な文章問題の簡単な解き方のコツ
- 数学の問題の中でも特に文章問題が苦手なので、克服するためのコツを知りたい
- 文章問題を解くときに知っておくべき解き方のコツが知りたい
数学の問題を解く時に、文章問題を苦手だと感じていませんか？
この記事では文章問題の答えを求めるための手順を、1つずつわかりやすく解説しています。
ここで学んだ解き方のコツは、どんな文章問題にも使えるものです。苦手な文章問題をここで克服してしまいましょう。
なぜ文章問題を苦手と感じるのか
算数や数学の文章問題を苦手と感じている人は多いのではないでしょうか。
なぜ文章問題を苦手と感じる人が多いのでしょうか。
私も文章問題が苦手でした(~o~)
文章問題が苦手と感じる理由の1つ目は、”文章問題に書いてあることを理解できていないから”です。
文章問題に書いてあることを、全然イメージできない。何を聞かれているのかさっぱりわからない。
そんな方はまず、問題を理解するところから始めましょう。
問題文を読んで理解し、
- 何が答えになるのか（何を聞かれているのか）
- 答えの単位は何なのか
- 答えは大体どのくらいの大きさの数字になるはずか
を考えれるようになれば、明らかに間違った数字になった時に、式の間違いや計算間違いに気づけるはずです。
そのために具体的にどのようなことをすればいいのかは、後で解説します。
文章問題が苦手と感じる理由の2つ目は”文章問題に書いてあることを式に置き換えられてないから”です。
1つ目のステップをクリアできたら、次は問題文を式に置き換える力が必要になってきます。
AさんはBさんより100円多く持っている。
この文章が問題に出てきたときにどのような式が考えられますか？
「AさんはBさんより100円多く持っている」ということは、
- Aさんの持っている金額はBさんが持っている金額に100円を足した金額である。
- Bさんの持っている金額はAさんの持っている金額から100円を引いた金額である。
- Aさんの持っている金額からBさんの持っている金額を引くと100円になる。
他にも考え方はあるのですが、上の3つのような文をイメージできた人は文章を式に置き換えやすい文章を作れた人です。
このように、「問題文を数式に置き換えるために、形を変えてイメージできる力」を付けていきましょう。
まず1つめの文章について考えてみましょう。
Aさんの持っている金額はBさんが持っている金額に100円を足した金額である。
この文章を式で表すと、
Aさんの持っている金額 ＝ Bさんの持っている金額 ＋ 100円
すなわち、
A=B＋100
という式ができあがります。
続けて2つめの文章について考えてみましょう。
Bさんの持っている金額はAさんの持っている金額から100円を引いた金額である。
この文章を式で表すと、
Bさんの持っている金額 ＝ Aさんの持っている金額 － 100円
すなわち、
B=Aー100
という式ができあがります。
最後に3つめの文章について考えてみましょう。
Aさんの持っている金額からBさんの持っている金額を引くと100円になる。
この文章を式で表すと、
Aさんの持っている金額 ー Bさんが持っている金額 ＝ 100円
すなわち、
A－B＝100
という式ができあがります。
文章を式に置き換える事は馴染みがなく、初めは難しいかもしれませんが、簡単な問題から少しずつ慣れていけばコツがつかめるはずです。
- 文章問題を理解する
- 文章問題を式に置き換える
式が完成したら、あとはひたすら計算です。ていねいに計算していけば答えにたどり着けるはずですので、勝負は「文章問題から式を作れるか」というところで決まってきます。
文章問題を理解し、式に置き換えることができさえすれば、ほとんどの人は文章問題が解けるということです。
では次章で、どんなふうに文章問題にアプローチしていくか解説しながら1つ問題を解いていきましょう。
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文章問題
まずは、以下の例題を読んでみてください。
Aさんは午前10時に家を出発し、自転車に乗って時速12kmで走り、午前11時30分に目的地に着く予定であった。ところが、途中で自転車が故障したので、そこからは時速4kmで歩いた。そのため、目的地に着いたのは出発してから2時間後の正午であった。家から自転車が故障した地点までの道のりを求めなさい。
そこそこ難しい方の問題だと思います。この問題が解ければ学校の定期試験で70点ぐらいはとれるのではないでしょうか。
問題文をできるだけ簡単に置き換える
長い文章問題を読んだ後に、
「読むだけで疲れてしまった。読んだけど、内容が全く頭に入ってこなかった。」
なんて経験をした人は多いのではないでしょうか。
単純に長い文章を読むだけで、無駄に時間がかかったり、読み疲れたり、内容が頭に入りにくかったりするものです。
単に問題文を読むのではなく、問題文をできるだけ簡単にすることを考えながら読むことを心がけましょう。
また、問題文を自分が日常的に遭遇する文章に置き換えることで、イメージしやすい文章にして理解していくことも大切です。
このように、文章問題をできるだけ簡単に置き換えることで、
- 問題に対しての理解が深まる
- 時間短縮にもつながる
- 読み疲れを防ぐ
と様々ないい点があります。
具体的に文章問題を簡単にするためには、次の2つのことを考えます。
- 問題文のいらない部分を省く。
- イメージしやすい問題に置き換える。(図などを使うとわかりやすい場合もある)
では、まず問題文のいらない部分を省いてみましょう。
問題文の1文目について考えましょう。
Aさんは午前10時に家を出発し、自転車に乗って時速12kmで走り、午前11時30分に目的地に着く予定であった。
この文章は何を意味しているのか、問題文に省ける部分はないのか考えてみましょう。
問題文は、
「”午前10時”に家を出発し、”午前11時30分”に目的地に着いた」
としていますが、これが、
「”午後3時”に家を出発し、”午後4時30分”に目的地に着いたとしても」
答えには何も影響がないでしょう。
さらに、
”自転車”で走っても、”自分の足”で走ったとしても
答えには何も影響がないでしょう。
つまり、この1文では「1時間30分で目的地に着く予定だった」といいたいだけなのです。
続いて問題文の2文目を考えましょう。
ところが、途中で自転車が故障したので、そこからは時速4kmで歩いた。
この文章は何を意味しているのか、問題文に省ける部分はないのか考えてみましょう。
「自転車が故障した」←この部分は必要ないと感じた人は多いはずです。
そうです。つまりこの1文では「途中で速度を変え、時速4kmで歩いた」といいたいのです。
最後に3文目について考えましょう。
そのため、目的地に着いたのは出発してから2時間後の正午であった。家から自転車が故障した地点までの道のりを求めなさい。
この文章は何を意味しているのか、問題文に省ける部分はないのか考えてみましょう。
ここまで読み進めた人だったらすぐにわかるはずですね。
「正午」←この部分は必要ないです。
この1文は「目的地に着いたのは2時間後でした。家から何キロメートル地点で歩き始めたか」と置き換えられるでしょう。
最後に全文を見てみましょう。まずは、元の問題文です↓
Aさんは午前10時に家を出発し、自転車に乗って時速12kmで走り、午前11時30分に目的地に着く予定であった。ところが、途中で自転車が故障したので、そこからは時速4kmで歩いた。そのため、目的地に着いたのは出発してから2時間後の正午であった。家から自転車が故障した地点までの道のりを求めなさい。
続いて、問題文のいらない部分を省いた文章です↓
Aさんは、家から時速12kmで走ると1時間30分で駅に着く予定だったが、途中から時速4kmで歩いて駅に向かうと2時間かかりました。歩き始めた場所は家から何km地点か？
かなり短い文章になり、イメージしやすくなったのではないでしょうか？
さらに、イメージしやすいように、目的地を駅に設定し、図を使って表してみることも重要です。
普段の問題を解くときは、こんなに丁寧に図を描く必要はありませんが、自分の脳内イメージを絵にしておくと、自分がいま何を考えているかが整理されて明確になります。
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文章問題を式に置き換える
文章問題をイメージ出来たら、文章を式に置き換えましょう。もう一度、いらない部分を省い問題文を示します。
Aさんは、家から時速12kmで走ると1時間30分で駅に着く予定だったが、途中から時速4kmで歩いて駅に向かうと2時間かかりました。歩き始めた場所は家から何km地点か？
問題文の前半部分から少しずつ見ていきましょう。
Aさんは家から時速12kmで走ると1時間30分で駅に着く予定だった
この文章をこう言い換えてみてはどうでしょうか？
”時速12kmで走ると1時間30分で着く場所に駅がありました”
「Aさん」や「家」など必要ない部分を省き、言い回しを変えることで、速さ・時間を求めるのではなく、
「駅までの距離を求めなさい」
と言っているように聞こえませんか？
ここまでわかれば、”時速12kmで走ると1時間30分で着く場所に駅がありました”を式で表してみましょう。すると、下のような式になります。
時速12km \(\times\) 1時間30分(1.5時間)＝18 km
家と駅の距離が18kmであることがわかりました。
では、問題の後半の、
”途中から時速4kmで歩いて駅に向かうと2時間かかりました”
この文章は何と言い換えられるでしょうか？
この文章は、
”時速12kmで走った時間と時速4kmで歩いた時間を足すと2時間になりました”
と言い換えることができます。
つまり、
Aさんは、家から時速12kmで走ると1時間30分で駅に着く予定だったが、途中から時速4kmで歩いて駅に向かうと2時間かかりました。歩き始めた場所は家から何km地点か？
この文章は、さらに、
駅まで18kmの距離がありました。途中まで時速12kmで走り、そこから時速4kmで歩いたら2時間で駅に着きました。歩き始めたのは家から何km地点か？
最終的にこういう文章に置き換えたら解きやすいかなと思います。
文章から方程式を考える
最後に、この問題を方程式(習っている人は連立方程式)を使って解いていきましょう。
まず初めに、何を\(x\)と置いて方程式を解くか考えてみましょう。
9割以上の場合は、求めたいものを\(x\)と置けば問題なく解けるでしょう。
まずは、求めたいものを\(x\)と置いて解いてみて、解けそうになかったら別のものを\(x\)と置いて、考えていけばいいと思います。
この問題の場合は、
自転車が故障した場所までの距離を\(x\)kmとして方程式（習っている方は残りの距離を\(y\)kmにして連立方程式）を作れば答えにたどり着けます。
※答案では、必ず実際の問題文を見て回答すること！問題を簡単にするために自分が勝手に置き換えたものは使ってはいけません！
何を\(x\)と置くか決めたら、\(x\)を含む方程式を作っていきます。
方程式とは、\(x\)を含む等式を作り、左辺と右辺に同じ作業をして、最終的に\(x\)を求めるものです。
最終的に\(x=5\)のようになるものが方程式とイメージすればわかりやすいと思います。
実際に方程式を作ってみましょう。
この問題では、自転車が故障した場所までの距離を\(x\)kmとすると、目的地までの残りの距離は\(18-x\)と表すことができます↓
次に、自転車が故障するまでの距離\(x\)kmと自転車が故障するまでの速さ時速12kmを使うと、自転車が故障するまでの時間は\(\frac{x}{12}\)と表せます。
また、残りの距離(自転車故障後の距離)18-\(x\)kmと歩いた速さ(自転車故障後の速さ)時速4kmを使うと歩いた時間(自転車故障後の時間)は\(\frac{18-x}{4}\)と表せます。
”自転車で走った時間と歩いた時間を合わせると2時間になる”という方程式を作ると、
\begin{align}
\frac{x}{12} + \frac{18-x}{4} = 2
\end{align}
となります。後は上式を解いて\(x\)を求めれば答えの完成です。
※方程式の計算の流れは次の章に書いておきます。
続いて連立方程式を使って解いてみましょう。
連立方程式とは\(x\)、\(y\)を含んだ等式を2つ作り、\(x\)、\(y\)を求めるものです。
自転車が故障した場所までの距離を\(x\)km、目的地までの残りの距離\(y\)kmとすると、
自転車が故障するまでの距離\(x\)kmと自転車が故障するまでの速さ時速12kmを使うと自転車が故障するまでの時間は\(\frac{x}{12}\)と表せます。
残りの距離(自転車故障後の距離)\(y\)kmと歩いた速さ(自転車故障後の速さ)時速4kmを使うと歩いた時間(自転車故障後の時間)は\(\frac{y}{4}\)と表せます。
次に、
”駅までの距離が18kmであった”
問題文のこの文章を別の言い方で置き換えると
”自転車で走った距離と歩いた距離を合わせると18kmになる”
になり、この文章を式に置き換えると、
\begin{align}
x+y=18 \cdots \text{①}
\end{align}
となります。
さらに、
”自転車で走った時間と歩いた時間を合わせると2時間になる”
を式で表すと、
\begin{align}
\frac{x}{12} + \frac{y}{4} = 2 \cdots \text{②}
\end{align}
①式と②式で連立方程式を作ると、
\begin{align}
x+y=18 \cdots \text{①}\\
\frac{x}{12} + \frac{y}{4} = 2 \cdots \text{②}
\end{align}
となり、あとはこれを解くだけです。
方程式と連立方程式は、”1つの文字で式を作る”か、”2つの文字で式を作る”かの違いだけで、考え方は同じです。
上の連立方程式の①式を\(18-x\)と変形し、②式に代入すれば方程式と全く同じ式になるはずです。
問題が複雑になればなるほど、連立方程式の方が簡単に解けるので、できる方は連立方程式で解きましょう。
実際に作った式を解いてみる
方程式
作った式を解いてみましょう。
まずは方程式から解いていきます。
\begin{align}
\frac{x}{12} + \frac{18-x}{4} = 2
\end{align}
両辺を12倍すると、
\begin{align}
\frac{x}{12} \times 12 + \frac{18-x}{4} \times 12 = 2 \times 12
\end{align}
です。これを計算すると、
\begin{align}
x+3(18-x) & = 24\\
x+54-3x &= 24
\end{align}
です。\(x\)を左辺、数字を右辺に移項すると、
\begin{align}
x-3x=24-54
\end{align}
となり、\(x\)と数字の部分を計算して、
\begin{align}
-2x=-30
\end{align}
です。最後に、両辺を-2で割って、
\begin{align}
x=15
\end{align}
となります。よって、自転車が故障した地点まで15kmであることがわかりました。
連立方程式
続いて連立方程式を解いていきましょう。
\begin{align}
x+y=18 \cdots \text{①}\\
\frac{x}{12} + \frac{y}{4} = 2 \cdots \text{②}
\end{align}
②式の両辺12倍すると、
\begin{align}
x+y=18 \cdots \text{①}\\
x+3y= 24 \cdots \text{③}
\end{align}
です。
③式から①式を引くと
\begin{align}
2y & =6\\
y & =3
\end{align}
です。
最後に、\(y\)=3を①式に代入すると、
\begin{align}
x+3 &= 18\\
x &= 15
\end{align}
となり、方程式で解いた場合と同じく答えである\(15\)kmになりました。
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まとめ
文章問題を解くためのコツと流れを以下にまとめます。
- 文章問題を理解しやすいように、簡単な表現に変えてみる。
- 図などを使ってイメージしやすい簡単な問題に置き換える。
- 問題を式に置き換える。
- 問題を解き、答えを求める。
問題出題者は正解者を減らすために、”わざと問題の文章をわかりにくく”したり、”わざと必要のない情報を問題文に書いたり”してきます。
出題者が、
- ”正解者を減らすためにどんな罠を仕掛けてきているのか”
- ”どういう意図でこの問題を作ったのか”
- ”自分はこの問題に引っかからないぞ”
と考えると、問題を解くのが楽しくなります！！
文章問題は、文章を式に置き換えることができるかどうかをためしているので、計算自体は簡単なことがほとんどです。
式に置き換えることができれば、問題が解けたも同然です。焦らず、ゆっくりと計算していきましょう。