【中学3年数学(因数分解)】因数分解をわかりやすく解説 – 高校入試出題率100%

2020年2月27日

この記事ではこんな人を対象に書いています

この記事では、因数分解をわかりやすく解説しています。

まずは「因数分解とは」から説明していき、実際に基本的な問題を解きながら丁寧に解説を進めていきます。

高校入試では、因数分解の問題が毎年必ず出題されていますし、高校数学でも因数分解は必要になってくるので、この記事を読んで、しっかり理解していきましょう!

因数分解とは

学校や参考書での説明

因数分解や素因数分解という言葉を聞くと、

”聞いたことはあるけど意味が分からないなぁ”

”学校で習った記憶はあるけど、何を言っているのか全然わからなかったなぁ”

という人は多いのではないでしょうか?

この記事では因数分解と素因数分解を基本からわかりやすく解説していきます。

 

まずは因数分解から説明していきましょう。因数分解の説明を教科書などで見ると、

因数分解について、教科書・参考書での説明

\(1\)つの式が多項式や単項式の積の形に表されるとき、積を作っている\(1つ1つ\)の式を、もとの式の因数といい、多項式をいくつかの因数の積の形に表すことを、もとの式を因数分解するという。

このように、よくわからない説明が書かれていると思います。正直この説明で理解できる人はほとんどいないと思います。

 

因数分解をイメージする

因数分解とはどういうものかイメージしやすいように、数字や文字が入っている式を使っていくつか例をあげてわかりやすく説明していきます。

 

因数分解の例(その①)

\(4 \times 3\) のように\(2\)つの数字をかけた式があるとき、 \(4\) と \(3\) の事を因数(いんすう)と言います。

 

また、 \(12\) を \(4×3\) のように数字のかけ算だけの形にすることを、因数分解と言います。

\(12\) という数字を \(4\) と \(3\) の「因数に分解する」という事ですね。

どうですか?少しはイメージしやすくなりましたか?

 

因数分解の例(その②)

他の例も見ていきましょう。

\(24\) を \(4 \times 3 \times 2\) のように\(3\)つ以上の数字のかけ算だけの形にすることも因数分解と言います。

 

因数分解の例(その③)

最後にもうひとつ例を見ていきましょう。

\(2x+4\) を \(2 \times (x+2)\) のように文字が入った式のかけ算だけの形にすることも因数分解と言います。

実際には、\(\times\)の記号は省略して\(2(x+2)\)と表します。

 

まとめると、下のようになります。

因数分解

 

「因数分解せよ」という問題は何をすればいいのか

授業で因数分解が登場する前まで、文字が含まれた計算問題は、

これまでの問題

以下の計算を解け。

\(2(x+2)=\)

↑のような問題だったと思います。

このような問題を答えるときは、

\(2(x+2)=2x+4\)

↑のように答えていました。( )をはずすことを ”展開する” と呼んでいましたね。

 

一方、因数分解の問題は、

因数分解の問題

以下の式を因数分解せよ。

\(2x+4=\)

↑のように今までの式の展開と逆の問題になっています。

答えるときは、

\(2x+4\)=\(2(x+2)\)

↑のように逆の答え方をすればいいです。

因数分解2

式の展開の逆の作業をするのが因数分解だ”と説明された方が分かりやすい人はそうやって覚えましょう。

人によって理解しやすい説明は違うので、自分が一番理解しやすい覚え方をすればいいと思います。

 

長い説明になったので、因数分解を改めてまとめてると、以下のような説明なります。

重要ポイント(因数分解とは)

文字や数字が入った足し算や引き算の式を、+や-の記号を使わないかけ算の式で表す事です。※( )の中なら+や-は使ってよい。

因数分解

ここまでで、因数分解とはざっくりこういうものなんだなぁとイメージしておいてください。

では、次章では実際に因数分解の問題が出た時に、どういう考え方をすればいいか解説します。

 

因数分解(共通因数をくくり出す問題)の解き方

次の因数分解の問題を考えましょう。

問題①

\(6x+8\)を因数分解しなさい。

因数分解の問題を考える前に、まず今までの問題の考え方を思い出して、逆の考え方で因数分解の問題を解いていきましょう。

まずは、下の式を解いてみてください。

\(2(3x+4)\)=

今までよく出ていたこの問題はすぐに解けるはずです。答えは\(6x+8\)ですね。

 

上の問題を解く時は、どういう考え方をしましたか?

\(3x\) 、\(4\) の両方に \(2\) をかければよいので、

\begin{align}
2(3x+4) &= 2 \times 3x+2 \times 4\\
&= 6x+8
\end{align}

深く考えずに感覚で解いている方もいると思いますが、頭の中ではこのような作業が行われているはずです。

 

では因数分解の問題を今の解き方の逆の手順で解いていきましょう。

逆の作業をすればいいので、まずは、 \(6x\) 、\(8\) の両方を割れる数字や文字を考えます。

\(6x\) 、\(8\) は両方 \(2\) で割れるので、( )の外に \(2\) を出します。

$$6x+8 = 2( \qquad )$$

この形までくればあとは簡単です。

( )の中の式に \(2\) をかけたものが \(6x+8\) になるような式を考えます。

\(6x+8\) を \(2\) で割ったものが( )の中に入るということですね。

  • \(6x\) を \(2\) で割って \(3x\)
  • \(8\) を \(2\) で割って \(4\)

となるので、\(3x+4\) を( )内に入れれば完成です。

$$6x+8 = 2(3x+4)$$

これで因数分解の完成です。

 

↑の問題で( )の外に出した \(2\) のことを共通因数と言います。

因数分解の問題を解く時は、共通因数を探すことから始めましょう。

 

↓に因数分解を解く手順を書いておくので、参考にしてみてください。

因数分解を解く手順

1.まずは共通因数を見つけ、共通因数を( )の外にくくり出します。
2.問題式を共通因数で割ったものを( )の中に書く。

 

共通因数を使う因数分解の練習問題

共通因数を使う因数分解の練習問題をいくつか解いてみましょう。

実際に、問題を解くことで因数分解の問題に慣れてください。

 

練習問題を解こう(その1)

練習問題1

次の式を因数分解しなさい。

$$8x^2y + 10xy =$$

まず、共通因数を探します。共通因数は \(2xy\) なので \(2xy\) を( )の外に出します。

$$8x^2y + 10xy = 2xy( \qquad )$$

\(2xy\) を( )の外に出しました。

あとは、この( )の中に入る式を考えます。それには、\(8x^2y+10xy\) を \(2xy\) で割ります。

  • \(8x^2y\) を \(2xy\) で割ると \(4x\)
  • \(10xy\) を \(2xy\) で割ると \(5\)

になるので、答えは、

$$8x^2y+10xy=2xy(4x+5)$$

となります。

 

練習問題を解こう(その2)

練習問題2

次の式を因数分解しなさい。
$$9a^2b^2c^3-3ab^2c=$$

共通因数を探します。少し難しいですが、共通因数は \(3ab^2c\) なので \(3ab^2c\) を( )の外に出します。

$$9a^2b^2c^3-3ab^2c=3ab^2c(          )$$

\(3ab^2c\) を( )の外に出しました。そして、(  )内の式を考えます。

それには、\(9a^2b^2c^3-3ab^2c\) を \(3ab^2c\) で割ります。

  • \(9a^2b^2c^3\) を \(3ab^2c\) で割ると \(3ac^2\)
  • \(3ab^2c\) を \(3ab^2c\) で割ると \(1\)

となるので、

$$9a^2b^2c^3-3ab^2c=3ab^2c(3ac^2-1)$$

↑が答えになります。※最後の( )内の\(1\)を書くのを忘れないようにしましょう。

 

以上が共通因数を( )の外にくくり出す問題の解説です。

共通因数がない問題もあるので、その解き方は次の章に書いておきます。

 

高校入試で出題される因数分解の解説(共通因数なし)

次の問題を考えてみましょう。

共通因数がない因数分解の例題

次の式を因数分解せよ。

$$x^2+5x+6$$

こういう問題は高校入試で必ず出題されるので、しっかり解き方をマスターしましょう。

 

因数分解は今までの問題の逆の作業すればよかったので、まずは今までの問題から復習していきましょう。

$$(x+2)(x+3)=$$

今までは↑のような問題がでてきていましたね。この問題の解き方は覚えていますか?

 

展開すると、

$$x^2+2x+3x+6$$

\(x\) をまとめると、

$$x^2+5x+6$$

となり、これが展開した答えです。こう解いていましたね、覚えていますか?

では、\(5x\) の \(5\) という数字はどうやって求めましたか?これは、\(2+3\) をして求めましたね。

同じように \(6\) という数字は、\(2 \times 3\) をして求めましたね。

[図]

 

では、因数分解の問題に戻って考えていきましょう。まずは、次の形を覚えてしまいましょう。

$$x^2+5x+6=(x+〇)(x+□)$$

答えは必ずこの形になり、〇と□に何か数字が入るので、その数字を探せばいいと覚えましょう。

 

では、〇と□に何が入るかを考えていきます。

先ほど復習した逆の考え方をすればいいので、

  • 〇+□=5
  • 〇×□=6

が成り立つはずです。

上の2式が両方成り立つ数字の組み合わせを考えると、〇と□は \(2\) と \(3\) の組み合わせであることがわかります。実際に入れてみると、

  • 2+3=5
  • 2 \(\times\) 3=6

となり、両方成り立ちますね。

 

よって、例題の解答は以下のようになります。

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

これで因数分解完成です。

ちなみに、\(2\) と \(3\) は入れ替えても正解です↓

$$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$$

 

共通因数を使わない因数分解の練習問題

練習問題(その1)

では、練習問題にチャレンジしましょう。以下の問題を考えてみてください。

練習問題

\(x^2+10x+24\)を因数分解しなさい。

どういう答え方かイメージします。

$$x^2+10x+24=(x+〇)(x+□)$$

ここまでイメージ出来たら、〇と□に入る数字の組み合わせを考えていきましょう。

足すと \(10\) になって、かけると \(24\) になる数字の組み合わせを探しましょう。

  • 〇+□=10
  • 〇×□=24

\(4\) と \(6\) ですね。

 

よって、

$$x^2+10x+24=(x+4)(x+6)$$

↑が答えになります。

 

練習問題(その2)

次は、マイナスが入った問題を見ていきましょう。

練習問題

\(x^2-5x-36\)を因数分解しなさい。

どういう答え方かイメージします。以下の形を思い浮かべてください。

\(x^2-5x-36\)=\((x+〇)(x-□)\)

足して \(-5\) かけて \(-36\) になる数字の組み合わせを探せばよかったですね。

  • 〇+□=-5
  • 〇×□=-36

 

今回は、〇×□が\(-36\) となり負なので、〇か□の片方が\(-\)になりそうだということがわかります。

ここまで、答え方をイメージしたら数字の組み合わせを考えます。

\(-9\) と \(4\) とすれば上の式が成り立ちそうですね。

 

よって、答えは、

$$x^2-5x-36=(x+4)(x-9)$$

となります。

 

解けましたか?

慣れない作業なので初めは時間がかかりますが、たくさん問題を解いていけば、すぐに計算が早くなるので頑張りましょう。

 

因数分解の解き方の手順

ここまで説明してきた因数分解の解き方の手順をまとめておきます↓

因数分解の解き方の手順

因数分解の問題をみたら、

  1. まず、共通因数を探す。
  2. 見つかったら共通因数を(  )の外にくくり出す。
  3. 見つからなかったら(  )(  )の形にして解く。

この手順を守って因数分解の問題に取り組んでみてください。

 

※よく間違えるチェックポイント

勘違いしていまいがちな問題を\(1\)つ出します。

因数分解の勘違いしやすい問題

\(3x+3y+24x\) を因数分解しなさい。

よく見かける一番基礎的な問題です。

\(3x+3y+24\) を因数分解すると、 \(3(x+y)+24\)

これは正しいと思いますか?合っていそうに見えるけど、実は間違いなのです。

どこが違うかわかりますか?

因数分解とは何だったのか、もう一度思い出してみましょう。

”数字や文字が入った式のかけ算だけの形にすること”を因数分解と言います。もうわかった方もいるのではないでしょうか?

\(3(x+3y)+24\)  は \(3\) と \((x+y)\) をかけたものに \(24\) を足しているので間違いです。

因数分解とは、”かけ算だけの形”にしなくてはいけないので、

\(3x+3y+24\) を因数分解すると、 \(3(x+y+8)\)

こうすることで \(3\) と \((x+y+8)\) をかけ算だけの形にしたものになります。

\(3(x+3y)+24\) ← +の記号を使っているので間違いです。

\(3(x+y+8)\) ← +の記号を使っているが( )の中なので正解です。

 

まとめ

ここまで記事を読んでくれた方は因数分解がなんとなーくイメージできたのではないでしょうか。

別の記事で、因数分解の実際の入試問題や難しい応用問題を解説していくので、時間がある方はそちらもご覧ください。


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2020年2月27日中学数学, 因数分解因数分解

Posted by masa