どんな数字も6174になる？不思議な数字”カプレカ数”
カプレカ数という数字を知っていますか？
あまり有名ではないかもしれませんが、この数字は不思議な性質をもっています。
それは、4桁の数字にある操作を行うと、どんな数字も最終的にはカプレカ数になってしまうという現象が起きるのです。
ここでは、カプレカ数にたどり着くまでの操作を紹介します。
【動画解説】
※記事の内容はもっと詳しい説明となっていますので、記事にも目を通してみてくださいね。
マイナーだけど面白くて不思議な数字”カプレカ数(6127)”
あまり知られていませんが、カプレカ数というマジックナンバーが存在します。
なんの特徴もない
6174（カプレカ数）
という4桁の数字が、実は面白い性質を持ったマジックナンバーなのです。
どのような性質を持ったマジックナンバーなのか？それは、
ある4桁の数字があったとします。この4桁の数字にある操作をすると、必ずカプレカ数になってしまう
のです。
次節では、ある操作について実際に見ていきましょう。この操作はとても簡単です。
必要なのは引き算だけの誰でもできる計算なので、一緒にチャレンジしてみましょう。電卓オッケーです。
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必ずカプレカ数となる魔法の操作
計算には紙と鉛筆を使用します。これから4桁の数同士の引き算を行うことになりますが、手計算が面倒な人は電卓も用意しましょう。
まずは、適当な4桁の数を紙に書いてください。すべての桁が同じ数でなければどんな数でもオッケーです。
$$\text{（○）}2749\\\text{（○）}8887\\\text{（×）}7777$$
ここでは、例として
$$9218$$
を使って操作を行ってみます。みなさんは、自分で選んだ数字でやってもよいですよ。
まず、この4つの数字を大きいほうから順に並び替えてください。すると、
$$9218 \rightarrow 9821$$
となります。
また、数字が小さい方から順に並べた数も用意します。
$$9821 \rightarrow 1289$$
そして、大きい方から並べた数字”9821″から小さい方から並べた数字”1289″を引きます。
$$9821 – 1289 = 8532$$
すると、新しく4桁の数字”8532″が出てきました。
この数字について改めて、大きいほうから順に並べた数から小さいほうから順に並べた数を引きます。
$$8532 – 2358 = 6174$$
さて、ここで6174が登場し、これはカプレカの定数です。
このように、
- 4桁の数字を準備する（ただし、4つの数がすべて同じ数以外）
- 上の数字を大きい方から順に並べなおす
- 上の数字を小さい方から順に並べなおす
- 2で作った数字から3で作った数字を引いて新しい数字を作る
- 2から4の操作を繰り返す
という操作をすれば、いつかは必ずカプレカ数(6174)となるのです。
カプレカ数になっても操作を続けると…
では、カプレカ数をさらに同様の操作を繰り返すとどうなるでしょうか？
$$6174$$
について、操作を行ってみましょう。
まずは、大きい方から並びなおし、
$$6174 \rightarrow 7641$$
です。次に、小さい方から並びなおし、
$$6174 \rightarrow 1467$$
です。
この二つの数字を引き算すると、
$$7641 – 1467 = 6174$$
となります。なんと、カプレカ数に戻ってきました。
このようにカプリカ数に一度なってしまうと、その後の操作はカプレカ数をグルグル回るようになってしまい、これ以上数字が変化しないのです。
カプレカ数は終わりの合図なのです。
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全て同じ数字はダメ、でも3つだけ同じ数字ならオッケー
カプレカ数を導く操作で、はじめに選ぶ4桁の数字として全てが同じ数字の場合は対象外とはじめに述べましたね。つまり、
$$4444 \\ 8888 \\ 2222$$
などは選んではいけないということですが、このような数字を選んだ場合にはどうなるのでしょうか？
例えば、7777について考えてみましょう。
すべてが同じ数字なので、これを大きい方から並べても、小さい方から並べても「7777」ですね。
次に、引き算をするのですが、
$$7777 – 7777 = 0000$$
となり、次からは「0000」の繰り返しとなってしまいます。
なので、すべてが同じ数はカプレカ数にはならないことが分かります。
では、3つの数字が同じ場合はどうでしょうか？例として、
$$8848$$
の場合を考えてみましょう。
大きい順と小さい順位並び替えて、
$$8884 \\ 4888$$
を作ります。大きい方から小さい方の数字を引いて、
$$8884 – 4888 = 3996$$
さらに、”3996″を、
$$3699 \\ 9963$$
と並び替えて、引き算します。
$$9963 – 3699 = 6264$$
繰り返すと、
$$6642 – 2466 = 4176 \\ 7641 – 1467 = 6174$$
となり、これでカプレカ数”6174″が出てきました。
はじめの4桁の数は一つでも数字が違っていればオッケーのようですね。
ここでは、4桁のカプレカ数を紹介しましたが、3桁や5桁のカプレカ数も存在します。これらについては、別の機会に紹介しますね。
このように、数字には、あまり知られていないけど面白い性質を持ったものがいっぱい存在しているのです。面白いですね。
まとめ
- 4桁のカプレカ数は6174である
- ある四桁の数（すべて同じ数字以外）を大きい方から並べたものと小さい方から並べたものの差をとっていくと、最終的にはカプレカ数となる
- 4桁のカプレカ数以外にも3桁や5桁のカプレカ数も存在する