1=0.999…は正解?じゃあ、1=2は正しい?

1と0.999…はほとんど同じことは誰もが認めるでしょう。
では、1と0.999…はまったく同じ数だと思う人はいますか?
「同じ数であるか?」と聞かれると「まったく同じではない。ちょっとだけ0.999…が1より小さいでしょ。」となるのではないでしょうか。
しかし、この二つの数はまったく同じ数なのです。それは、数学的に比較的簡単に証明することができます。ここでは、その証明を紹介しましょう。
また、おまけとして1と2が同じ数字ある証明も紹介します。しかし、こちらは明らかに違います。
これは、証明の中に罠があるからですが、あなたはその罠を見抜けるでしょうか。
1=0.999…は正しい?正しくない?
$$1 = 0.999\dots$$
は正しいでしょうか?正しくないでしょうか?
直観的には、これは間違いだという人が多いでしょう。0.999…は限りなく1に近いですが、1にはなりきれていないような気がします。
多くの人が「0.999…はわずかだけ1より小さいでしょ」と答えるのではないでしょうか。
しかし、結論から言うと1=0.999…は正しいです。数学的には正しいとされています。
1=0.999…を証明しよう
では、
\begin{equation}
1 = 0.999\dots\tag{1}
\end{equation}
を証明してみましょう。
まず、上の式の両辺に10を掛けます。すると、
\begin{align}
1\times10 & = 0.999\dots\times10 \\
10 & = 9.999\dots\tag{2}
\end{align}
となりますね。ここで、(2)式から最初の(1)式を引きましょう。すると、
\begin{align}
10-1 & = 9.999\dots-0.999\dots \\
9 & = 9
\end{align}
となり、「9=9」は成り立つので、
\begin{equation}
1 = 0.999\dots
\end{equation}
も成り立ち、正しい式であることが分かります。
(1)の式から両辺に同じ数を掛けたり引いたりしただけですから、なにもおかしな操作はしていません。これは、数学的に正しい証明です。
3で割ってみよう
もう一つ、「1=0.999…」が成り立つことが分かる方法を紹介します。
それは、両辺を3で割るのです。すると、
\begin{align}
1 & = 0.999\cdots \\
\frac{1}{3} & = \frac{0.999\cdots}{3} \\
0.333\cdots & = 0.333\cdots
\end{align}
となり、両辺が同じことが証明できました。こちらの方が簡単ですね。
1=2も正しい?
では、
\begin{equation}
1 = 2
\end{equation}
はどうでしょうか?
これは、明らかに間違っていますよね。事実、この等式「1=2」は間違いです。安心してください。
しかし、この等式をもっともらしく、証明したものがありますので、紹介しましょう。
しかも中学数学の範囲で証明できてしまいます。
証明①
まず、
\begin{align}
a = b
\end{align}
が成り立つとしましょう。この両辺にaを足します。
\begin{align}
a+a & = b+a \\
2a & = a+b
\end{align}
さらに、2bを両辺から引くと、
\begin{align}
2a-2b & = a+b-2b \\
2(a-b) & = a-b
\end{align}
そして、最後に両辺を(a-b)で割ると、
\begin{align}
\frac{2(a-b)}{a-b} & = \frac{a-b}{a-b} \\
2 & = 1
\end{align}
したがって、2=1が成り立つことが証明されました。
証明②
もう一つの別の証明もあります。
証明①と同じように、
\begin{align}
a = b \tag{3}
\end{align}
からはじめます。この式の両辺に、aを掛けます。
\begin{align}
a \times a & = b \times a \\
a^2 & = b \times a
\end{align}
さらに、両辺からb2を引くと、
\begin{align}
a^2-b^2 & = b \times a-b^2 \\
a^2-b^2 & = b (a-b) \tag{4}
\end{align}
この式の左辺は、因数分解できます。中学校で習った、
\begin{align}
(x^2-y^2) = (x-y)(x+y)
\end{align}
の公式ですね。覚えてますか?
この公式を使うと、(4)式は、
\begin{align}
a^2-b^2 & = b (a-b) \\
(a+b)(a-b) & = b (a-b)
\end{align}
と書き直すことができます。両辺を(a-b)で割ると、
\begin{align}
\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} & = \frac{b(a-b)}{a-b} \\
a+b & = b
\end{align}
ここで、はじめに(3)式で、a=bとしていたので、上の式のaをbに置き換えてもよいはずです。
\begin{align}
a+b & = b \\
b+b & = b \\
2b & = b
\end{align}
最後に、bで両辺を割ると、
\begin{align}
\frac{2b}{b} & = \frac{b}{b} \\
2 & = 1
\end{align}
となり、1=2が成立します。
こんな感じで、1=2が成り立つような証明が存在します。実は1=2の証明は、そのほかににもたくさん、たくさん考案されているのです。詳しく知りたい人は、下のページが詳しいですよ。
証明のどこが悪いの?
ここでは、1=2の二つの証明を紹介しましたが、はじめに言ったようにこれらの証明は二つとも間違っています。
では、どこが間違っているのでしょうか?
それは、”両辺を(a-b)で割る”の部分です。割ってはいけないのです。
二つの証明をしたときに、どちらの証明にもこの一文が登場しています。こっそりと、赤字にしておきました。
なぜ、両辺を(a-b)で割ってはいけないのかというと、それは0で割ることになってしまうからです。
どちらの証明も、はじめに、
$$a = b$$
を仮定していましたよね。なので、(a-b)は同じ数同士の引き算となって0になっているのです。
$$a – b = 0$$
例えば、証明②では(a-b)で割ったときの式が、
\begin{align}
\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} & = \frac{b(a-b)}{a-b}
\end{align}
となっていましたが、これは、
\begin{align}
\frac{(a+b)(0)}{0} & = \frac{b \times 0}{0} \\
\frac{0}{0} & = \frac{0}{0}
\end{align}
となり、分母に0がきてしまいますので、ダメなんですね。
まとめ
- 1=0.999…は数学的に正しい
- 上の等式は両辺を3で割ってみると簡単に分かる
- 1=2は当然間違い
- 証明は0の割り算が含まれているため、その部分が間違っている
ディスカッション
コメント一覧
こんにちは!とても素敵な記事でした.
少し気になったのですが「1=0.999…を証明しよう」の項目の証明方法が循環論法になってしまっています.
証明の中身に,まだ未証明の1=0.999…を使ってしまっているのが原因なので
a=0.999…
10a=9.999…
下の式から上の式を引いて
9a=9
a=1
よってa=1=0.999…
のようにするとより良くなると思います
コメントありがとうございます。
なるほど、確かに言われてみるとそうですね。
そのようなものを循環論法というのですね。
勉強になります。ありがとうございました。
後日、修正いたします。
こんにちは。
厳密に言うと1=0.999…は成り立たないのではないでしょうか?
小数点以下に9が無限に続く0.999…という数は、1/3=0.333…を3倍した数と考えられます。そうなると1÷3×3となるため=1となりそうですが、そもそも1/3=0.333…という式自体が厳密には正しくありません。1/3を正確に小数表記で表すことは不可能なため、便宜上小数点以下に3が無限に続く小数として表記しているにすぎず、厳密には=ではなく≒と表記するべきです。
よって、0.999…という小数表記では正確な数を表せておらず、それを用いた計算も正確な計算とは言えないかと思います。よって計算結果に矛盾が生じてしまうのだと思います。
へい様の途中式にて、
左辺:10aーa=9aは問題ないですが、右辺:9.999…ー0.999…=9は上記矛盾による見せかけの答えになります。(a=0.999…なら9a=8.999…のため)
長文、横槍失礼致しました。
しかしながら、やはり数学は面白いですね。
両辺に同じ10をかけたのに、
左辺と右辺で違う数字を引いたらそりゃそうなるでしょ。
同じなら両方同じ1で引けばいい。
イコールなんだから同じ数字じゃなきゃイコールにはならない。
循環小数を分数に直すときも同じやり方だったと思うのでいいのでは?
何ゆーてんねん
全くいい加減ですね。1/3は0.333…..と続く十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると発想し、帰納的に記しました。桁を増やしても1に漸近し、値は変わりません。【補足0.237237237……は79/333。】
全くいい加減ですね。1/3は0.333……という十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると気付きませんか。99ずつとか999ずつ増えてもかいさすうれつ階差数列ばりに増えても1に漸近し一般性は崩れません。
2も3いいですが1は3では割れません。
全くいい加減ですね。1/3は0.333……という十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると気付きませんか。99ずつとか999ずつ増えてもかいさすうれつ階差数列ばりに増えても1に漸近し一般性は崩れません。
2も3もいいですが1は3では割れません。
よくわかんない
1/3は0.33333333….と続くのですが3を掛けると0.999999….となるので1と0.99999…は等しいと思います
さっきUPしたのがバグフィックスです。
絶対値が1より小さい数字はn回かけ続けると0になります。1は何回かけても1です。
あ、この↑意見すごい単純で、直感的に理解できる感じ!!
あと、極限値と実際の値は違います。
≪「1=2は正しい?」≫と言う事について、『平面の数』(直交座標)では、線分[1]と直交線分[1]の正方形面積も[1]で表象できるのを『球の数』の大円の面積[π]、円周長[2π]の対応で観る。 〔注;半径r=1としている。〕
正方形面積[1]を『球の数』の大円の円周長[2π]の係数[2]との対応とすれば、
≪「1と2は等しい」≫と看做せる。
これは、ユークリッド幾何(直交座標)の『計量構造』(e)の内在する『平面の数』と[極座標]の[π]それぞれを[十進法の基での桁表示の[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]】の記号による言葉(言語)]から成り立つ係数として対応させた結果である。
というのは、正方形の頂点を構成させる[直交作用](i)を[極座標]の[π]に置き換えたものとして『数学概念』が構成されるからだ。
ここに書かれていることが本当なら、
5=4.99999…ということですか?
小松清人こと宮本利岳さん
ちゃうでしょ。0.999・・・と言ってる時点で極限なんだから、0.999・・・の極限値は1であってるでしょ。0.000・・・001というのは有限の表記になってる。
極限値って何ですか?説明をお願いします。すいません。
❝さ❞さん
極限値ではありません、ほかのルート(≠根号)です。
0.9+0.1が1なので計算式は合っています。
0.9の点(.)と9の間の9と、0.1の点(.)と1の間の0が追いかけっこしていきます。
0.9+0.1、0.99+0.01、0.999+0.001のように。
その計算式を機能的に纏めたのが
0.999・・・・・・99+0.000・・・・・・01=1
(・・・・・・は∞桁)∴0.000・・・・・・01>0
❝さ❞さん
あまり数学が得意ではなさそうですね。
もう少し数学を勉強してください。
❝中学生❞さん
本当に中学生なのですか。
大きく高校受験を失敗しなければ、
高校2年生か高校3年生になれば学校で習います。
結構面白みが大きい単元です。
“匿名より”
とありますが、小松清人こと宮本利岳です。
少し補足しましょう。
まず前提として、0.999…というのは、循環節1桁の循環無限小数です。つまりどこまで桁を追っても最果てが存在しない、というイメージです。
例えば1と0.9999を比較すれば、もちろんこれらは異なる数で、0.0001の差があります。これは小数点以下の桁数をどんなに増やしても変わりません。しかしここで大事なのは、『桁数を増やす』という過程の中に、無限桁の0.999…が含まれない、という事実です。『桁数を増やす』という作業は、一つ一つに自然数で番号をつけられます。0.9なら1番目、0.99なら2番目、0.999なら3番目…という具合に。すると、0.999…には番号をつけられません。∞は自然数に含まれないからです。そもそも∞は、普通の数と全く異なる計算の性質をもっているので、自然数に含めるのは妥当でないのです(例えば∞+1=∞なんて式も成り立ちます)。だから、有限桁の数で1>0.999…9が成り立つからといって、無限桁でも成り立つとは言えないのです。
ちなみに帰納法で証明できるのは、無限個の自然数が当てはまるような条件を満たす、任意の自然数に対して定義される命題です。例えば3以上の全ての自然数に対してこれこれが成り立つ、などです。ただしここでも、∞は証明の範疇外になります。今回の場合だと、n番目にあたる1>0.99…9から、n+1番目の関係式を導くことは可能です。しかし、この作業を何回繰り返しても、無限小数を使った関係式にはたどり着けません。それは、最初に言った前提から確実に言えます。そもそも無限桁であるはずの数を、0.999…99(…は∞)と表現することは、根本的に矛盾しているのです。
この議論を正確にすると、1と0.999…が異なる数だとすれば差はどれくらいか、ということに尽きます。∞にしても無限小数にしても、その実体は極限値です。つまりある特定の数に限りなく近づくときの、『特定の数』に当たります。極限値には、近づくことはできても、その数ぴったりにはなるとは限らない、という考え方ができます。0.999…99の桁数を増やせば、1に限りなく近づくけれど、決して1にはならない。そのような、『どこに近づいているのか』を表すのが極限値であり、0.999…という果てのない小数であり、1であるのです。この2つの数の差は0.000…という無限に0が続く小数なので(そう、永遠に1が現れない)、つまり差は0、等しい数だと言えるのです。
だから、1=0.999…は正しいのです。
名無しの数学好き さん
1=0.999…は極限値のみでの成立、
実際の値とは違います。
僕は自分の計算式は絶対に間違っていないと自負します。”桁数を増やす”という発想は僕のコンセプトに合っていると思いますが理解しきれてないところを見ると、”名無しの数学好き”さんは古い参考書の受け売りにしか思えません。1は現れています。0.237237237……なら237循環{(通称)れいてんにーさんななのにーさんななじゅんかん}ですが、
0.000……01なら0循環(.)と1の間のゼロが無限に増えている、僕の仲間内だけで流行っている(笑)いわゆる0.01の0循環(れいてんれいいちのぜろじゅんかん)。
“そう、永遠に1が現れない”のであれば9も永遠に
現れないと肯定することになり、意味不明です。
どんな参考書を使っているのか分かりませんが、
そのイメージの無さからすると、
解析関数では大学入試ですら対応出来ませんよ。
あとこの思考はまだ世界の数学の歴史に名を馳せていないので参考書には載っていません。
悪しからずご了承下さい。
“そう、永遠に1が現れない”ということと、
“つまり、差は0、等しい数”ということは何の根拠もない話だということの拭えない事実です。
名無しの数学好き さん
1=0.999…は極限値のみでの成立、
実際の値とは違います。
僕は自分の計算式は絶対に間違っていないと自負します。”桁数を増やす”という発想は僕のコンセプトに合っていると思いますが理解しきれてないところを見ると、”名無しの数学好き”さんは古い参考書の受け売りにしか思えません。1は現れています。0.237237237……なら237循環{(通称)れいてんにーさんななのにーさんななじゅんかん}ですが、
0.000……01なら0循環(.)と1の間のゼロが無限に増えている、僕の仲間内だけで流行っている(笑)いわゆる0.01の0循環(れいてんれいいちのぜろじゅんかん)。
“そう、永遠に1が現れない”のであれば9も永遠に
現れないと肯定することになり、意味不明です。
どんな参考書を使っているのか分かりませんが、
そのイメージの無さからすると、
解析関数では大学入試ですら対応出来ませんよ。
あとこの思考はまだ世界の数学の歴史に名を馳せていないので参考書には載っていません。
悪しからずご了承下さい。
“そう、永遠に1が現れない”ということと、
“つまり、差は0、等しい数”ということは何の根拠もない話だということの拭えない事実です。
“名無しの数学好き”さん
名無しの数学好きさんの世界では、
0.000……01が0何ですよね⁉
逆数を取るのが1番手っ取り早くて、
0.000……01(……は∞桁)の逆数は∞、
0の逆数は取れません。
あと、補足として
0.999……99
+0.000……01
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1
となります。分からなければできる範囲で説明します。
×何ですよね→○なんですよね
あと他にも同じ単元と、これとは違う単元で7〜8個発見した定義·定理·公式·理論·証明·法則があります(所持している)ので、これを引っ提げて結構真面目にフィールズ賞·アーベル賞取得に向けて活動しています。みなさんもし宜しければ応援してください。
証明じゃなくて、小便だな。
≪…『自然比矩形』…≫は、[絵本]「もろはのつるぎ」で・・・
”小松清人こと宮本利岳”さんは、自身の勝手な直感に従って、数学的な根拠の無い持論を述べているだけですね。
大学入試の延長として純粋数学を捉えているようですし、話になりません(笑)
EXCELLENT!!!!!!!!!
面白い
(二重投稿ならご容赦。投稿反映されないので再投稿。操作ミス?。
今まで意識していませんでしたが面白いですね。 お話を理解するのは簡単だが奥が深い。
私はやはり 1>0.999・・・ のような気がする。
難しい事はわかりませんが、 1=0.999・・・ の証明と言われているものを見てみてもすっきりしない。
0.999・・・に四則演算を行っているものがある。 無限に数字が続く数に四則演算をして良いとの証明はあるのだろうか?。
さらに無限級数の公式からの証明もあるが、その公式を得る過程で、1/n =0(n->無限大) を使っていないだろうか?。 1/n(nー>無限大)はゼロではない、との議論もでき、これは1=0.999・・・と同じ土俵の議論で証明の根拠にはならないと思う。
私なりの解釈。
1>0.999・・・ならば、数直線上では、「0.999・・・」と「1」の2点が存在する事になる。直線上の点は、2点間に無数に存在する。例えば1cmの直線上の点の数と1mm上の点の数は同じとされている。
ゆえに 1<X<999・・・ となる「X」が存在する。しかし、現代の数字ではこのXを表す事ができない。
案1としては、そのような数字を作る。例えば 「0.999・・・|0..999・・・」。0.999・・・の点を0とみなして1までを数字で表す。しかしそれも「0.999・・・|0.999・・・|・・・」となり解決は難しい。
案2としては、少々乱暴だが「0.999・・・=1」とみなす。これなら「X]は存在しなくなり、実害も少ないと思われる。
「0.999・・・=1」である、は納得できない。「0.999・・・=1」とみなす、なら納得できる。折衷案をとって「0.999・・・=1」と決める、との事なら理解はできる。
結局、数字という離散的なもので、連続を扱う事から無理が来ているように感じる。
ふと物理の不確定性原理を連想した。現実世界でも最小単位は確定できないらしい。
1
1=0.9999999….ということは2=1.99999…ということですか?
1=2の証明はたくさんあるそうです