1=0.999…は正解?じゃあ、1=2は正しい?

1と0.999…はほとんど同じことは誰もが認めるでしょう。
では、1と0.999…はまったく同じ数だと思う人はいますか?
「同じ数であるか?」と聞かれると「まったく同じではない。ちょっとだけ0.999…が1より小さいでしょ。」となるのではないでしょうか。
しかし、この二つの数はまったく同じ数なのです。それは、数学的に比較的簡単に証明することができます。ここでは、その証明を紹介しましょう。
また、おまけとして1と2が同じ数字ある証明も紹介します。しかし、こちらは明らかに違います。
これは、証明の中に罠があるからですが、あなたはその罠を見抜けるでしょうか。
1=0.999…は正しい?正しくない?
$$1 = 0.999\dots$$
は正しいでしょうか?正しくないでしょうか?
直観的には、これは間違いだという人が多いでしょう。0.999…は限りなく1に近いですが、1にはなりきれていないような気がします。
多くの人が「0.999…はわずかだけ1より小さいでしょ」と答えるのではないでしょうか。
しかし、結論から言うと1=0.999…は正しいです。数学的には正しいとされています。
1=0.999…を証明しよう
では、
\begin{equation}
1 = 0.999\dots\tag{1}
\end{equation}
を証明してみましょう。
まず、上の式の両辺に10を掛けます。すると、
\begin{align}
1\times10 & = 0.999\dots\times10 \\
10 & = 9.999\dots\tag{2}
\end{align}
となりますね。ここで、(2)式から最初の(1)式を引きましょう。すると、
\begin{align}
10-1 & = 9.999\dots-0.999\dots \\
9 & = 9
\end{align}
となり、「9=9」は成り立つので、
\begin{equation}
1 = 0.999\dots
\end{equation}
も成り立ち、正しい式であることが分かります。
(1)の式から両辺に同じ数を掛けたり引いたりしただけですから、なにもおかしな操作はしていません。これは、数学的に正しい証明です。
3で割ってみよう
もう一つ、「1=0.999…」が成り立つことが分かる方法を紹介します。
それは、両辺を3で割るのです。すると、
\begin{align}
1 & = 0.999\cdots \\
\frac{1}{3} & = \frac{0.999\cdots}{3} \\
0.333\cdots & = 0.333\cdots
\end{align}
となり、両辺が同じことが証明できました。こちらの方が簡単ですね。
スポンサーリンク
1=2も正しい?
では、
\begin{equation}
1 = 2
\end{equation}
はどうでしょうか?
これは、明らかに間違っていますよね。事実、この等式「1=2」は間違いです。安心してください。
しかし、この等式をもっともらしく、証明したものがありますので、紹介しましょう。
しかも中学数学の範囲で証明できてしまいます。
証明①
まず、
\begin{align}
a = b
\end{align}
が成り立つとしましょう。この両辺にaを足します。
\begin{align}
a+a & = b+a \\
2a & = a+b
\end{align}
さらに、2bを両辺から引くと、
\begin{align}
2a-2b & = a+b-2b \\
2(a-b) & = a-b
\end{align}
そして、最後に両辺を(a-b)で割ると、
\begin{align}
\frac{2(a-b)}{a-b} & = \frac{a-b}{a-b} \\
2 & = 1
\end{align}
したがって、2=1が成り立つことが証明されました。
証明②
もう一つの別の証明もあります。
証明①と同じように、
\begin{align}
a = b \tag{3}
\end{align}
からはじめます。この式の両辺に、aを掛けます。
\begin{align}
a \times a & = b \times a \\
a^2 & = b \times a
\end{align}
さらに、両辺からb2を引くと、
\begin{align}
a^2-b^2 & = b \times a-b^2 \\
a^2-b^2 & = b (a-b) \tag{4}
\end{align}
この式の左辺は、因数分解できます。中学校で習った、
\begin{align}
(x^2-y^2) = (x-y)(x+y)
\end{align}
の公式ですね。覚えてますか?
この公式を使うと、(4)式は、
\begin{align}
a^2-b^2 & = b (a-b) \\
(a+b)(a-b) & = b (a-b)
\end{align}
と書き直すことができます。両辺を(a-b)で割ると、
\begin{align}
\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} & = \frac{b(a-b)}{a-b} \\
a+b & = b
\end{align}
ここで、はじめに(3)式で、a=bとしていたので、上の式のaをbに置き換えてもよいはずです。
\begin{align}
a+b & = b \\
b+b & = b \\
2b & = b
\end{align}
最後に、bで両辺を割ると、
\begin{align}
\frac{2b}{b} & = \frac{b}{b} \\
2 & = 1
\end{align}
となり、1=2が成立します。
こんな感じで、1=2が成り立つような証明が存在します。実は1=2の証明は、そのほかににもたくさん、たくさん考案されているのです。詳しく知りたい人は、下のページが詳しいですよ。
証明のどこが悪いの?
ここでは、1=2の二つの証明を紹介しましたが、はじめに言ったようにこれらの証明は二つとも間違っています。
では、どこが間違っているのでしょうか?
それは、”両辺を(a-b)で割る”の部分です。割ってはいけないのです。
二つの証明をしたときに、どちらの証明にもこの一文が登場しています。こっそりと、赤字にしておきました。
なぜ、両辺を(a-b)で割ってはいけないのかというと、それは0で割ることになってしまうからです。
どちらの証明も、はじめに、
$$a = b$$
を仮定していましたよね。なので、(a-b)は同じ数同士の引き算となって0になっているのです。
$$a – b = 0$$
例えば、証明②では(a-b)で割ったときの式が、
\begin{align}
\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} & = \frac{b(a-b)}{a-b}
\end{align}
となっていましたが、これは、
\begin{align}
\frac{(a+b)(0)}{0} & = \frac{b \times 0}{0} \\
\frac{0}{0} & = \frac{0}{0}
\end{align}
となり、分母に0がきてしまいますので、ダメなんですね。
まとめ
- 1=0.999…は数学的に正しい
- 上の等式は両辺を3で割ってみると簡単に分かる
- 1=2は当然間違い
- 証明は0の割り算が含まれているため、その部分が間違っている
ディスカッション
コメント一覧
こんにちは!とても素敵な記事でした.
少し気になったのですが「1=0.999…を証明しよう」の項目の証明方法が循環論法になってしまっています.
証明の中身に,まだ未証明の1=0.999…を使ってしまっているのが原因なので
a=0.999…
10a=9.999…
下の式から上の式を引いて
9a=9
a=1
よってa=1=0.999…
のようにするとより良くなると思います
コメントありがとうございます。
なるほど、確かに言われてみるとそうですね。
そのようなものを循環論法というのですね。
勉強になります。ありがとうございました。
後日、修正いたします。
こんにちは。
厳密に言うと1=0.999…は成り立たないのではないでしょうか?
小数点以下に9が無限に続く0.999…という数は、1/3=0.333…を3倍した数と考えられます。そうなると1÷3×3となるため=1となりそうですが、そもそも1/3=0.333…という式自体が厳密には正しくありません。1/3を正確に小数表記で表すことは不可能なため、便宜上小数点以下に3が無限に続く小数として表記しているにすぎず、厳密には=ではなく≒と表記するべきです。
よって、0.999…という小数表記では正確な数を表せておらず、それを用いた計算も正確な計算とは言えないかと思います。よって計算結果に矛盾が生じてしまうのだと思います。
へい様の途中式にて、
左辺:10aーa=9aは問題ないですが、右辺:9.999…ー0.999…=9は上記矛盾による見せかけの答えになります。(a=0.999…なら9a=8.999…のため)
長文、横槍失礼致しました。
しかしながら、やはり数学は面白いですね。
両辺に同じ10をかけたのに、
左辺と右辺で違う数字を引いたらそりゃそうなるでしょ。
同じなら両方同じ1で引けばいい。
イコールなんだから同じ数字じゃなきゃイコールにはならない。
循環小数を分数に直すときも同じやり方だったと思うのでいいのでは?
何ゆーてんねん
1=2は正しい?そのことについて他のサイト何故0で割ってはいけないのか0で割れるようになったらどうなるのか。で0x =0とx x ^-1=1で0×1/0=0と0×1/0=1の二つの答えが出てしまって1=0が成立するようになって、両辺に1を足すと1=2が成立するようになってしまいます
2021/5/10のは僕、宮本利岳の投稿ではありません。
全くいい加減ですね。1/3は0.333…..と続く十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると発想し、帰納的に記しました。桁を増やしても1に漸近し、値は変わりません。【補足0.237237237……は79/333。】
全くいい加減ですね。1/3は0.333……という十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると気付きませんか。99ずつとか999ずつ増えてもかいさすうれつ階差数列ばりに増えても1に漸近し一般性は崩れません。
2も3いいですが1は3では割れません。
全くいい加減ですね。1/3は0.333……という十進数循環小数であるのは自明だと理解されていますが、少なからず僕は間違いだと証明できます。
1/3=0.333……(……は無限大の桁数)ですが、❝りゅう❞さんの発想の証明も兼ねると、1を0.99と0.01のように2項に分けて0.99と0.01のように0.99の点と9の間の9と0.01の点と1の間の0を増やしていきます。0.99と0.01にその要領で足し続けると、
1=0.9+0.1=0.99+0.01=0.999+0.001=0.999……99+0.000……01
(……は∞桁。)
0.000……01>0なので1≠0.999……99
y=1/xに0は代入出来ませんよね、多分忘れている方も多いかもしれませんが、❝りゅう❞さんの経緯もありますので、タイプします。
例えば
0.237237237……はxで置き、1000x(=237.237237……)から引いて値を導くのですが、同じ数字が続く場合、いわゆる一桁づつ続いていくように見える循環小数は数字になじんで(少し物理が入ります。)桁が、例えば僕の持論ですが、
0.999……99の9は1桁ずつ9が増えているから…ではなく、99づつとか999づつとか増えるスピードに変化があると気付きませんか。99ずつとか999ずつ増えてもかいさすうれつ階差数列ばりに増えても1に漸近し一般性は崩れません。
2も3もいいですが1は3では割れません。
よくわかんない
1/3は0.33333333….と続くのですが3を掛けると0.999999….となるので1と0.99999…は等しいと思います
さっきUPしたのがバグフィックスです。
絶対値が1より小さい数字はn回かけ続けると0になります。1は何回かけても1です。
あ、この↑意見すごい単純で、直感的に理解できる感じ!!
あと、極限値と実際の値は違います。
≪「1=2は正しい?」≫と言う事について、『平面の数』(直交座標)では、線分[1]と直交線分[1]の正方形面積も[1]で表象できるのを『球の数』の大円の面積[π]、円周長[2π]の対応で観る。 〔注;半径r=1としている。〕
正方形面積[1]を『球の数』の大円の円周長[2π]の係数[2]との対応とすれば、
≪「1と2は等しい」≫と看做せる。
これは、ユークリッド幾何(直交座標)の『計量構造』(e)の内在する『平面の数』と[極座標]の[π]それぞれを[十進法の基での桁表示の[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]】の記号による言葉(言語)]から成り立つ係数として対応させた結果である。
というのは、正方形の頂点を構成させる[直交作用](i)を[極座標]の[π]に置き換えたものとして『数学概念』が構成されるからだ。
ここに書かれていることが本当なら、
5=4.99999…ということですか?
1=0.999…999が正しいならそれも、正解です。
小松清人こと宮本利岳さん
ちゃうでしょ。0.999・・・と言ってる時点で極限なんだから、0.999・・・の極限値は1であってるでしょ。0.000・・・001というのは有限の表記になってる。
極限値って何ですか?説明をお願いします。すいません。
❝さ❞さん
極限値ではありません、ほかのルート(≠根号)です。
0.9+0.1が1なので計算式は合っています。
0.9の点(.)と9の間の9と、0.1の点(.)と1の間の0が追いかけっこしていきます。
0.9+0.1、0.99+0.01、0.999+0.001のように。
その計算式を機能的に纏めたのが
0.999・・・・・・99+0.000・・・・・・01=1
(・・・・・・は∞桁)∴0.000・・・・・・01>0
❝さ❞さん
あまり数学が得意ではなさそうですね。
もう少し数学を勉強してください。
❝中学生❞さん
本当に中学生なのですか。
大きく高校受験を失敗しなければ、
高校2年生か高校3年生になれば学校で習います。
結構面白みが大きい単元です。
じゃあ、∞ー∞は?
“匿名より”
とありますが、小松清人こと宮本利岳です。
少し補足しましょう。
まず前提として、0.999…というのは、循環節1桁の循環無限小数です。つまりどこまで桁を追っても最果てが存在しない、というイメージです。
例えば1と0.9999を比較すれば、もちろんこれらは異なる数で、0.0001の差があります。これは小数点以下の桁数をどんなに増やしても変わりません。しかしここで大事なのは、『桁数を増やす』という過程の中に、無限桁の0.999…が含まれない、という事実です。『桁数を増やす』という作業は、一つ一つに自然数で番号をつけられます。0.9なら1番目、0.99なら2番目、0.999なら3番目…という具合に。すると、0.999…には番号をつけられません。∞は自然数に含まれないからです。そもそも∞は、普通の数と全く異なる計算の性質をもっているので、自然数に含めるのは妥当でないのです(例えば∞+1=∞なんて式も成り立ちます)。だから、有限桁の数で1>0.999…9が成り立つからといって、無限桁でも成り立つとは言えないのです。
ちなみに帰納法で証明できるのは、無限個の自然数が当てはまるような条件を満たす、任意の自然数に対して定義される命題です。例えば3以上の全ての自然数に対してこれこれが成り立つ、などです。ただしここでも、∞は証明の範疇外になります。今回の場合だと、n番目にあたる1>0.99…9から、n+1番目の関係式を導くことは可能です。しかし、この作業を何回繰り返しても、無限小数を使った関係式にはたどり着けません。それは、最初に言った前提から確実に言えます。そもそも無限桁であるはずの数を、0.999…99(…は∞)と表現することは、根本的に矛盾しているのです。
この議論を正確にすると、1と0.999…が異なる数だとすれば差はどれくらいか、ということに尽きます。∞にしても無限小数にしても、その実体は極限値です。つまりある特定の数に限りなく近づくときの、『特定の数』に当たります。極限値には、近づくことはできても、その数ぴったりにはなるとは限らない、という考え方ができます。0.999…99の桁数を増やせば、1に限りなく近づくけれど、決して1にはならない。そのような、『どこに近づいているのか』を表すのが極限値であり、0.999…という果てのない小数であり、1であるのです。この2つの数の差は0.000…という無限に0が続く小数なので(そう、永遠に1が現れない)、つまり差は0、等しい数だと言えるのです。
だから、1=0.999…は正しいのです。
名無しの数学好き さん
1=0.999…は極限値のみでの成立、
実際の値とは違います。
僕は自分の計算式は絶対に間違っていないと自負します。”桁数を増やす”という発想は僕のコンセプトに合っていると思いますが理解しきれてないところを見ると、”名無しの数学好き”さんは古い参考書の受け売りにしか思えません。1は現れています。0.237237237……なら237循環{(通称)れいてんにーさんななのにーさんななじゅんかん}ですが、
0.000……01なら0循環(.)と1の間のゼロが無限に増えている、僕の仲間内だけで流行っている(笑)いわゆる0.01の0循環(れいてんれいいちのぜろじゅんかん)。
“そう、永遠に1が現れない”のであれば9も永遠に
現れないと肯定することになり、意味不明です。
どんな参考書を使っているのか分かりませんが、
そのイメージの無さからすると、
解析関数では大学入試ですら対応出来ませんよ。
あとこの思考はまだ世界の数学の歴史に名を馳せていないので参考書には載っていません。
悪しからずご了承下さい。
“そう、永遠に1が現れない”ということと、
“つまり、差は0、等しい数”ということは何の根拠もない話だということの拭えない事実です。
他のサイトにx^0=1として都合良く計算できると書いてあるのですがx^z=y^zならばx=yなのではないでしょうか。つまり1^0=2^0つまり1=2
匿名さん落ち着きましょう
参考書wそこは論文じゃねぇのかよw
数学史に名を馳せてない思考なら新しい成果だから論文書けや。論文も書かんと自分の主張が正しいと言い張るだけの口だけ野郎か?まず行動しろよ。論文がacceptされれば反論もでねぇぞ。
あとな、あんたやっぱ無限理解してねぇよ。無限ってのは終わりがねぇのよ。「……」がどこまでもどこまで続くのよ。どこまでもって意味分かる?つまり「これが最後の数字です!」ってのがないわけ。つまり、あんたの言う0.000……01(……は無限)って書き方はありえねぇのよ。だってこれ最後の数字があるもんな。最後の数字があったらそれはそれは有限の数だよ。有限だったらそりゃー 0.000……01>0 さ。でも今問題にしてるのは無限だからね。0.000……0000……0000……0000……(……は無限に0が続く)なわけだよ。最後の1なんか出てこねぇの。出てこないってことはこれは0と同じだろ。だって無限に0が続くんだからな。無限は「超でっかい数字」じゃねぇってことを理解しろ。そんなもんじゃねぇんだよ無限は。そもそも数字じゃねぇんだ。「0.000……01(……は∞桁)の逆数は∞」とか言ってんなよ。な、とりあえず論文投稿してこい。
あなた1人のために解りやすく教えるつもりはありません。
自分の頭で考えてください。
解らない、理解できない、は自己責任です。
誰にでも解りやすい表記はしません。
ここまで説明しても解らないのは、
先天的な問題なのかもしれません。
あと匿名さんの脳ミソのルーティンは自分の理解できない部分を人の責任にして論文など価値が無くなった所でタダで自分の知識だと言い張る脳(??)にに支障をきたしているクリーチャーだと思われます。
多分あなたは3平方定理や加法定理、ド・モルガンの定理を覚えた瞬間にもともとのその定義・定理・公式・理論・証明・法則を作った人よりも自分のほうが秀ているという錯覚に陥ったまま今まで人生を全う(??)してきたと垣間見れます。
名無しの数学好き さん
1=0.999…は極限値のみでの成立、
実際の値とは違います。
僕は自分の計算式は絶対に間違っていないと自負します。”桁数を増やす”という発想は僕のコンセプトに合っていると思いますが理解しきれてないところを見ると、”名無しの数学好き”さんは古い参考書の受け売りにしか思えません。1は現れています。0.237237237……なら237循環{(通称)れいてんにーさんななのにーさんななじゅんかん}ですが、
0.000……01なら0循環(.)と1の間のゼロが無限に増えている、僕の仲間内だけで流行っている(笑)いわゆる0.01の0循環(れいてんれいいちのぜろじゅんかん)。
“そう、永遠に1が現れない”のであれば9も永遠に
現れないと肯定することになり、意味不明です。
どんな参考書を使っているのか分かりませんが、
そのイメージの無さからすると、
解析関数では大学入試ですら対応出来ませんよ。
あとこの思考はまだ世界の数学の歴史に名を馳せていないので参考書には載っていません。
悪しからずご了承下さい。
“そう、永遠に1が現れない”ということと、
“つまり、差は0、等しい数”ということは何の根拠もない話だということの拭えない事実です。
“名無しの数学好き”さん
名無しの数学好きさんの世界では、
0.000……01が0何ですよね⁉
逆数を取るのが1番手っ取り早くて、
0.000……01(……は∞桁)の逆数は∞、
0の逆数は取れません。
あと、補足として
0.999……99
+0.000……01
‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
1
となります。分からなければできる範囲で説明します。
×何ですよね→○なんですよね
あと他にも同じ単元と、これとは違う単元で7〜8個発見した定義·定理·公式·理論·証明·法則があります(所持している)ので、これを引っ提げて結構真面目にフィールズ賞·アーベル賞取得に向けて活動しています。みなさんもし宜しければ応援してください。
証明じゃなくて、小便だな。
≪…『自然比矩形』…≫は、[絵本]「もろはのつるぎ」で・・・
”小松清人こと宮本利岳”さんは、自身の勝手な直感に従って、数学的な根拠の無い持論を述べているだけですね。
大学入試の延長として純粋数学を捉えているようですし、話になりません(笑)
EXCELLENT!!!!!!!!!
面白い
(二重投稿ならご容赦。投稿反映されないので再投稿。操作ミス?。
今まで意識していませんでしたが面白いですね。 お話を理解するのは簡単だが奥が深い。
私はやはり 1>0.999・・・ のような気がする。
難しい事はわかりませんが、 1=0.999・・・ の証明と言われているものを見てみてもすっきりしない。
0.999・・・に四則演算を行っているものがある。 無限に数字が続く数に四則演算をして良いとの証明はあるのだろうか?。
さらに無限級数の公式からの証明もあるが、その公式を得る過程で、1/n =0(n->無限大) を使っていないだろうか?。 1/n(nー>無限大)はゼロではない、との議論もでき、これは1=0.999・・・と同じ土俵の議論で証明の根拠にはならないと思う。
私なりの解釈。
1>0.999・・・ならば、数直線上では、「0.999・・・」と「1」の2点が存在する事になる。直線上の点は、2点間に無数に存在する。例えば1cmの直線上の点の数と1mm上の点の数は同じとされている。
ゆえに 1<X<999・・・ となる「X」が存在する。しかし、現代の数字ではこのXを表す事ができない。
案1としては、そのような数字を作る。例えば 「0.999・・・|0..999・・・」。0.999・・・の点を0とみなして1までを数字で表す。しかしそれも「0.999・・・|0.999・・・|・・・」となり解決は難しい。
案2としては、少々乱暴だが「0.999・・・=1」とみなす。これなら「X]は存在しなくなり、実害も少ないと思われる。
「0.999・・・=1」である、は納得できない。「0.999・・・=1」とみなす、なら納得できる。折衷案をとって「0.999・・・=1」と決める、との事なら理解はできる。
結局、数字という離散的なもので、連続を扱う事から無理が来ているように感じる。
ふと物理の不確定性原理を連想した。現実世界でも最小単位は確定できないらしい。
1
1=0.9999999….ということは2=1.99999…ということですか?
1=2の証明はたくさんあるそうです
僕は1=0.99999….と思います。何故なら匿名さんの1>x >0.999999……のx は存在しないからです。例えば1>x >0.1のx は1-0.1の答えの0.9よりも小さい正の数を1よりも小さい0.1に足せばいいですよね。このとき、1と0.99999….の差をn とするとn =0.000000……1ですね。このとき、0.00000….1 よりも小さい正の数は存在しないのです。だから、1=0.99999…は正しいのです
僕は1=0.9999999…….は正しいと思います。名無しの数学好きさんのいう通り1と0.999は異なる数で0.001の差があります。これはどれだけ桁数を増やしても成立します。0.9は1番0.99は2番という風に桁数を増やしていき♾桁までやっていくと♾には番号を付けられないので♾は成立しません。何故なら♾は自然数ではないからです。最初にどれだけ桁数を増やしても成立するとしましたがこれは自然数に限ったことです。少し補足すると♾に何を足しても♾なので0.999999….よりも大きく1より小さい数は存在しないので1と0.9999…は等しいのです。
すみません、よく分かりません。
小松清人こと宮本利岳さん。1=0.9999999……は正しいですよ。
何故なら1>0.999999……となるのは0.9999……を小数点以下の数が有限の数と考えた時のことです。しかし♾には終わりがありません。つまり1-0.99999999……は0.0000000……となり1が永遠に現れません。
痛いですね、意味がわからないようで。
痛いですね、意味がわからないようで。
全く見切れてないですね。
どこかの単元に穴があるとか。
熟練度がある程度あれば誰にでも理解できるはずです。
痛いですね、意味がわからないようで。
全く見切れてないですね。
どこかの単元に穴があるとか。
それか理解していないのに暗記でカバーしてるとか。
証明済み。読んでもわからないなら、文盲ですね。定義である国語が未熟ですね。
上の方(匿名より:2020年8月13日)を書きましたが、最近おとずれ誤記に気がつきました。
(正)ゆえに 1>X>0.999・・・ となる「X」が存在する。
(誤)ゆえに 1<X<999・・・ となる「X」が存在する。
ついでながら前の後半文章に加筆しました。
私なりの解釈。
「現代数学」と「現実」を分けて考える必要があると思う。現代数学は現実をモデル化して作られた人工体系であり、現実そのものではない。
1>0.999・・・ならば、現実では数直線上で、「0.999・・・」と「1」の2点が存在する事になる。直線上の点は、2点間に無数に存在する。例えば1cmの直線上の点の数と1mm上の点の数は同じとされている。現代数学の表現方法を用いていますが、現実を表現する他の方法がないので意味合いとしてご理解ください。
ゆえに現実には 1>X>0.999・・・ となる「X」が存在する。しかし、現代数字ではこのXを表す事ができない。これは、現代数学の限界?で結果的にこのように作られてしまったと思う。
案1としては、そのような数字を作る。例えば 「0.999・・・|0..999・・・」。0.999・・・の点を0とみなして1までを数字で表す。しかしそれも「0.999・・・|0.999・・・|・・・」となり解決は難しい。
案2としては、少々乱暴だが「0.999・・・=1」とみなす。これなら「X]は存在しなくなり、実害も少ないと思われる。
「0.999・・・=1」である、は納得できない。「0.999・・・=1」とみなす、なら納得できる。折衷案をとって「0.999・・・=1」と決める、との事なら理解はできる。
「0.999・・・=1」は現代数学としての決め事(結果的にそうせざるを得ない)であり、論理的な証明はできないのではないかと思う。
結局、数字という離散的なもので、連続を扱う事から無理が来ているように感じる。
ふと物理の不確定性原理を連想した。現実世界でも最小単位は確定できないらしい。
1=0.9999999 …
だなんて……初めて知りました!!今でも驚きです!
証明もとてもわかりやすくて、納得できました。
楽しく、ためになることを毎度毎度、ありがとうございます!
↑は僕じゃないです。
適当だけど1-0.999…=0.000… よって1=0.999…でよくね
0.99999…X10-0.99999は正しくは9.0000000…9になるのではないのでしょうか
0.99999…X10-0.99999は正しくは9.0000000…9になるのではないのでしょうか
123456789123456789最後はふざけました
0.999999…=1について 0.999999…=1
の証明に、
x=0.9999…
10x=9.9999…
9x=9
x=1
こういうのがありますが、
両辺にに10をかけることによって桁が1つ繰り上がります
つまり、
x=0.9999…99
10x=9.9999…9
9x=8.9999…1
つまり、x≠1となってしまいます
結局0.9999…と1は極端に近い数ということでしょうか
0.999999…=1について 0.999999…=1
の証明に、
x=0.9999…
10x=9.9999…
9x=9
x=1
こういうのがありますが、
両辺にに10をかけることによって桁が1つ繰り上がります
つまり、
x=0.9999…99
10x=9.9999…9
9x=8.9999…1
つまり、x≠1となってしまいます
結局0.9999…と1は極端に近い数ということでしょうか
私と同じ考え方をしていたので、Yahoo!知恵袋の「ID非公開さん」のコメントを真似ました。もし不快に思ってしまったならすいません。
3.
141592653589 793238462643 383279502884 197169399375 105820974944 592307816406 286208998628 034825342117
067982148086 513282306647 093844609550 582231725359 408128481117 450284102701 938521105559 644622948954
930381964428 810975665933 446128475648 233786783165 271201909145 648566923460 348610454326 648213393607
260249141273 724587006606 315588174881 520920962829 254091715364 367892590360 011330530548 820466521384
146951941511 609433057270 365759591953 092186117381 932611793105 118548074462 379962749567 351885752724
891227938183 011949129833 673362440656 643086021394 946395224737 190702179860 943702770539 217176293176
752384674818 467669405132 000568127145 263560827785 771342757789 609173637178 721468440901 224953430146
549585371050 792279689258 923542019956 112129021960 864034418159 813629774771 309960518707 211349999998
372978049951 059731732816 096318595024 459455346908 302642522308 253344685035 261931188171 010003137838
752886587533 208381420617 177669147303 598253490428 755468731159 562863882353 787593751957 781857780532
171226806613 001927876611 195909216420 198938095257 201065485863 278865936153 381827968230 301952035301
852968995773 622599413891 249721775283 479131515574 857242454150 695950829533 116861727855 889075098381
754637464939 319255060400 927701671139 009848824012 858361603563 707660104710 181942955596 198946767837
449448255379 774726847104 047534646208 046684259069 491293313677 028989152104 752162056966 024058038150
193511253382 430035587640 247496473263 914199272604 269922796782 354781636009 341721641219 924586315030
286182974555 706749838505 494588586926 995690927210 797509302955 321165344987 202755960236 480665499119
881834797753 566369807426 542527862551 818417574672 890977772793 800081647060 016145249192 173217214772
350141441973 568548161361 157352552133 475741849468 438523323907 394143334547 762416862518 983569485562
099219222184 272550254256 887671790494 601653466804 988627232791 786085784383 827967976681 454100953883
786360950680 064225125205 117392984896 084128488626 945604241965 285022210661 186306744278 622039194945
047123713786 960956364371 917287467764 657573962413 890865832645 995813390478 027590099465 764078951269
468398352595 709825822620 522489407726 719478268482 601476990902 640136394437 455305068203 496252451749
399651431429 809190659250 937221696461 515709858387 410597885959 772975498930 161753928468 138268683868
942774155991 855925245953 959431049972 524680845987 273644695848 653836736222 626099124608 051243884390
451244136549 762780797715 691435997700 129616089441 694868555848 406353422072 225828488648 158456028506
016842739452 267467678895 252138522549 954666727823 986456596116 354886230577 456498035593 634568174324
112515076069 479451096596 094025228879 710893145669 136867228748 940560101503 308617928680 920874760917
824938589009 714909675985 261365549781 893129784821 682998948722 658804857564 014270477555 132379641451
523746234364 542858444795 265867821051 141354735739 523113427166 102135969536 231442952484 937187110145
765403590279 934403742007 310578539062 198387447808 478489683321 445713868751 943506430218 453191048481
005370614680 674919278191 197939952061 419663428754 440643745123 718192179998 391015919561 814675142691
239748940907 186494231961 567945208095 146550225231 603881930142 093762137855 956638937787 083039069792
077346722182 562599661501 421503068038 447734549202 605414665925 201497442850 732518666002 132434088190
710486331734 649651453905 796268561005 508106658796 998163574736 384052571459 102897064140 110971206280
439039759515 677157700420 337869936007 230558763176 359421873125 147120532928 191826186125 867321579198
414848829164 470609575270 695722091756 711672291098 169091528017 350671274858 322287183520 935396572512
108357915136 988209144421 006751033467 110314126711 136990865851 639831501970 165151168517 143765761835
155650884909 989859982387 345528331635 507647918535 893226185489 632132933089 857064204675 259070915481
416549859461 637180270981 994309924488 957571282890 592323326097 299712084433 573265489382 391193259746
366730583604 142813883032 038249037589 852437441702 913276561809 377344403070 746921120191 302033038019
762110110044 929321516084 244485963766 983895228684 783123552658 213144957685 726243344189 303968642624
341077322697 802807318915 441101044682 325271620105 265227211166 039666557309 254711055785 376346682065
310989652691 862056476931 257058635662 018558100729 360659876486 117910453348 850346113657 686753249441
668039626579 787718556084 552965412665 408530614344 431858676975 145661406800 700237877659 134401712749
470420562230 538994561314 071127000407 854733269939 081454664645 880797270826 683063432858 785698305235
808933065757 406795457163 775254202114 955761581400 250126228594 130216471550 979259230990 796547376125
517656751357 517829666454 779174501129 961489030463 994713296210 734043751895 735961458901 938971311179
042978285647 503203198691 514028708085 990480109412 147221317947 647772622414 254854540332 157185306142
288137585043 063321751829 798662237172 159160771669 254748738986 654949450114 654062843366 393790039769
265672146385 306736096571 209180763832 716641627488 880078692560 290228472104 031721186082 041900042296
617119637792 133757511495 950156604963 186294726547 364252308177 036751590673 502350728354 056704038674
351362222477 158915049530 984448933309 634087807693 259939780541 934144737744 184263129860 809988868741
326047215695 162396586457 302163159819 319516735381 297416772947 867242292465 436680098067 692823828068
996400482435 403701416314 965897940924 323789690706 977942236250 822168895738 379862300159 377647165122
893578601588 161755782973 523344604281 512627203734 314653197777 416031990665 541876397929 334419521541
341899485444 734567383162 499341913181 480927777103 863877343177 207545654532 207770921201 905166096280
490926360197 598828161332 316663652861 932668633606 273567630354 477628035045 077723554710 585954870279
081435624014 517180624643 626794561275 318134078330 336254232783 944975382437 205835311477 119926063813
346776879695 970309833913 077109870408 591337464144 282277263465 947047458784 778720192771 528073176790
770715721344 473060570073 349243693113 835049316312 840425121925 651798069411 352801314701 304781643788
518529092854 520116583934 196562134914 341595625865 865570552690 496520985803 385072242648 293972858478
316305777756 068887644624 824685792603 953527734803 048029005876 075825104747 091643961362 676044925627
420420832085 661190625454 337213153595 845068772460 290161876679 524061634252 257719542916 299193064553
779914037340 432875262888 963995879475 729174642635 745525407909 145135711136 941091193932 519107602082
520261879853 188770584297 259167781314 969900901921 169717372784 768472686084 900337702424 291651300500
516832336435 038951702989 392233451722 013812806965 011784408745 196012122859 937162313017 114448464090
389064495444 006198690754 851602632750 529834918740 786680881833 851022833450 850486082503 930213321971
551843063545 500766828294 930413776552 793975175461 395398468339 363830474611 996653858153 842056853386
218672523340 283087112328 278921250771 262946322956 398989893582 116745627010 218356462201 349671518819
097303811980 049734072396 103685406643 193950979019 069963955245 300545058068 550195673022 921913933918
568034490398 205955100226 353536192041 994745538593 810234395544 959778377902 374216172711 172364343543
947822181852 862408514006 660443325888 569867054315 470696574745 855033232334 210730154594 051655379068
662733379958 511562578432 298827372319 898757141595 781119635833 005940873068 121602876496 286744604774
649159950549 737425626901 049037781986 835938146574 126804925648 798556145372 347867330390 468838343634
655379498641 927056387293 174872332083 760112302991 136793862708 943879936201 629515413371 424892830722
012690147546 684765357616 477379467520 049075715552 781965362132 392640616013 635815590742 202020318727
760527721900 556148425551 879253034351 398442532234 157623361064 250639049750 086562710953 591946589751
413103482276 930624743536 325691607815 478181152843 667957061108 615331504452 127473924544 945423682886
061340841486 377670096120 715124914043 027253860764 823634143346 235189757664 521641376796 903149501910
857598442391 986291642193 994907236234 646844117394 032659184044 378051333894 525742399508 296591228508
555821572503 107125701266 830240292952 522011872676 756220415420 516184163484 756516999811 614101002996
078386909291 603028840026 910414079288 621507842451 670908700069 928212066041 837180653556 725253256753
286129104248 776182582976 515795984703 562226293486 003415872298 053498965022 629174878820 273420922224
533985626476 691490556284 250391275771 028402799806 636582548892 648802545661 017296702664 076559042909
945681506526 530537182941 270336931378 517860904070 866711496558 343434769338 578171138645 587367812301
458768712660 348913909562 009939361031 029161615288 138437909904 231747336394 804575931493 140529763475
748119356709 110137751721 008031559024 853090669203 767192203322 909433467685 142214477379 393751703443
661991040337 511173547191 855046449026 365512816228 824462575916 333039107225 383742182140 883508657391
771509682887 478265699599 574490661758 344137522397 096834080053 559849175417 381883999446 974867626551
658276584835 884531427756 879002909517 028352971634 456212964043 523117600665 101241200659 755851276178
583829204197 484423608007 193045761893 234922927965 019875187212 726750798125 547095890455 635792122103
334669749923 563025494780 249011419521 238281530911 407907386025 152274299581 807247162591 668545133312
394804947079 119153267343 028244186041 426363954800 044800267049 624820179289 647669758318 327131425170
296923488962 766844032326 092752496035 799646925650 493681836090 032380929345 958897069536 534940603402
166544375589 004563288225 054525564056 448246515187 547119621844 396582533754 388569094113 031509526179
378002974120 766514793942 590298969594 699556576121 865619673378 623625612521 632086286922 210327488921
865436480229 678070576561 514463204692 790682120738 837781423356 282360896320 806822246801 224826117718
589638140918 390367367222 088832151375 560037279839 400415297002 878307667094 447456013455 641725437090
697939612257 142989467154 357846878861 444581231459 357198492252 847160504922 124247014121 478057345510
500801908699 603302763478 708108175450 119307141223 390866393833 952942578690 507643100638 351983438934
159613185434 754649556978 103829309716 465143840700 707360411237 359984345225 161050702705 623526601276
484830840761 183013052793 205427462865 403603674532 865105706587 488225698157 936789766974 220575059683
440869735020 141020672358 502007245225 632651341055 924019027421 624843914035 998953539459 094407046912
091409387001 264560016237 428802109276 457931065792 295524988727 584610126483 699989225695 968815920560
010165525637 567856672279 661988578279 484885583439 751874454551 296563443480 396642055798 293680435220
277098429423 253302257634 180703947699 415979159453 006975214829 336655566156 787364005366 656416547321
704390352132 954352916941 459904160875 320186837937 023488868947 915107163785 290234529244 077365949563
051007421087 142613497459 561513849871 375704710178 795731042296 906667021449 863746459528 082436944578
977233004876 476524133907 592043401963 403911473202 338071509522 201068256342 747164602433 544005152126
693249341967 397704159568 375355516673 027390074972 973635496453 328886984406 119649616277 344951827369
558822075735 517665158985 519098666539 354948106887 320685990754 079234240230 092590070173 196036225475
647894064754 834664776041 146323390565 134330684495 397907090302 346046147096 169688688501 408347040546
074295869913 829668246818 571031887906 528703665083 243197440477 185567893482 308943106828 702722809736
248093996270 607472645539 925399442808 113736943388 729406307926 159599546262 462970706259 484556903471
197299640908 941805953439 325123623550 813494900436 427852713831 591256898929 519642728757 394691427253
436694153236 100453730488 198551706594 121735246258 954873016760 029886592578 662856124966 552353382942
878542534048 308330701653 722856355915 253478445981 831341129001 999205981352 205117336585 640782648494
276441137639 386692480311 836445369858 917544264739 988228462184 490087776977 631279572267 265556259628
254276531830 013407092233 436577916012 809317940171 859859993384 923549564005 709955856113 498025249906
698423301735 035804408116 855265311709 957089942732 870925848789 443646005041 089226691783 525870785951
298344172953 519537885534 573742608590 290817651557 803905946408 735061232261 120093731080 485485263572
282576820341 605048466277 504500312620 080079980492 548534694146 977516493270 950493463938 243222718851
597405470214 828971117779 237612257887 347718819682 546298126868 581705074027 255026332904 497627789442
362167411918 626943965067 151577958675 648239939176 042601763387 045499017614 364120469218 237076488783
419689686118 155815873606 293860381017 121585527266 830082383404 656475880405 138080163363 887421637140
643549556186 896411228214 075330265510 042410489678 352858829024 367090488711 819090949453 314421828766
181031007354 770549815968 077200947469 613436092861 484941785017 180779306810 854690009445 899527942439
813921350558 642219648349 151263901280 383200109773 868066287792 397180146134 324457264009 737425700735
921003154150 893679300816 998053652027 600727749674 584002836240 534603726341 655425902760 183484030681
138185510597 970566400750 942608788573 579603732451 414678670368 809880609716 425849759513 806930944940
151542222194 329130217391 253835591503 100333032511 174915696917 450271494331 515588540392 216409722910
112903552181 576282328318 234254832611 191280092825 256190205263 016391147724 733148573910 777587442538
761174657867 116941477642 144111126358 355387136101 102326798775 641024682403 226483464176 636980663785
768134920453 022408197278 564719839630 878154322116 691224641591 177673225326 433568614618 654522268126
887268445968 442416107854 016768142080 885028005414 361314623082 102594173756 238994207571 362751674573
189189456283 525704413354 375857534269 869947254703 165661399199 968262824727 064133622217 892390317608
荒らしやめろ
荒らしやめろ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
最初の1=0、9999999…を証明しようで0,99999999…を10倍してましたが、それは最後に0が出来るのではないのでしょうか
0.9999999999 × 10 – 0.9999999999 = 8.9999999991
3分の1の証明が通るなら3=2.777777777…が通るという事ですか。
すいません2.9999でした
イプシロンエヌ論法でも調べましょう