紙を何回折ると富士山へとどく?宇宙へとどく?

2018年9月16日

この記事はこんなことを書いてます

数学に関して、数学の専門家がこう述べています。

「数学に関する人間の直観は当てにならない、それは私のような数学の専門家でもだ」

専門家でも数学というものを直観的に考えると間違えてしまうのですから、私のような一般人はなおさらですね。

ここでは、そのような直観と実際の現象が大きく異なっているという例を紹介します。

折り紙を何回折ると富士山や月、宇宙へ届くかということについて考えてみましょう。

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折り紙を何回折ったら富士山へとどく?月へとどく?

皆さんは折り紙を折ったことがありますか?

わたしも小学校のときには、鶴を折ったりして楽しんでました。

はじめは薄っぺらい正方形の紙が、折っていくにつれ厚みをもった複雑な形へと変わっていく様子が面白いですよね。

 

折れば折るほど厚みを増していく折り紙ですが、その厚みが月や太陽まで届くには何回折ったらいいのでしょうか?

想像してみましょう。数万回、それとも数百万回?もっとでしょうか?

実際に折って確かめたいところですが、不可能なことはわかっているので、計算によって確認してみましょう。

ちなみに、富士山の標高は3,776m、月までの距離は384,400km、太陽までの距離は149,600,000kmです。

  • 富士山までの距離=3,776m
  • 月までの距離=384,400km
  • 太陽までの距離=149,600,000km

 

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折って折って折りまくる

では、計算上ですが、実際に折っていきましょう。

まずは、用意する紙の厚さを調べます。かなり薄いですよね。調べたところ0.08mmという厚さのようです。

予想よりかなり薄かったです。1mmを10分の1したものよりもさらに薄い厚さようです。これでは月に達するまでに、かなりの回数折らないといけないのではないでしょうか。

 

はじめに0.08mmの単位をmに直しておきましょう。

0.08mm = 0.00008m

となります。折ってない状態で”0.00008m”です。

一回折ると、その二倍になりますね。実際に折ってみると分かりますが、紙が二枚重なっている状態です。ですので、折り紙の厚さは、

0.00008m + 0.00008m = 0.00016m

となります。もう一度、二つに折れば、”0.00016m”の二倍です。

0.00016m + 0.00016m = 0.00032m

もう一度折ると、”0.00016m”の二倍です。

こんな感じで折っていき、10回折ったときの回数と、紙の厚さを下の表にまとめました。

折った回数 紙の厚さ(m)
0(はじめの状態) 0.00008
1 0.00016
2 0.00032
3 0.00064
4 0.00128(一円玉の厚み)
5 0.00256
6 0.00512(ノートの厚み)
7 0.01024
8 0.02048
9 0.04096
10 0.08192

10回折り終わりました。

振り返って表を見てみると、4回折った時点で、一円玉の厚みとほぼ同様の厚さとなっています。

また、6回目でノード一冊の厚みとなりました。ノードの紙の枚数は通常は30枚程度です。一方6回折った紙は、64枚(計算方法は後に解説します)であり、だいたい同程度となっています。

10回目が折り終わって、ようやく約0.082m=約8.2cmです。月まではまだまだですね。

 

もっと折ってみる

さらに10回折って、合計で20回折ってみましょう。

折った回数 紙の厚さ(m)
11 0.16384
12 0.32768
13 0.65536
14 1.31072(小学6年生男子の平均身長)
15 2.62144
16 5.24288
17 10.48576
18 20.97152
19 41.94304
20 83.88608

ここからいっきに伸び率が上がった気がします。

14回折ったときには、小学生の高学年くらいの高さまでになっています。

20回折ったときは、もう少しで100mへとどきそうですね。

 

さらに折り進めます。30回まで行きましょう。

折った回数 紙の厚さ(m)
21 167.77216
22 335.54432(東京タワー)
23 671.08864(スカイツリー)
24 1342.17728
25 2684.35456
26 5368.70912(富士山を超えた)
27 10737.41824(飛行機の高度)
28 21474.83648
29 42949.67296
30 85899.34592

22回折ると335mとなり、ついに東京タワー(333m)を超えました。そして、さらにそこから1回おって23回折ると、次はスカイツリー(634m)を見下ろせる高さです。

26回でついに富士山を超えました。

27回折ったときには、10737mであり、もうこの高さは想像がつかないですね。飛行機が飛んでいる高さくらいでしょうか。

単位をmからkmへ変えた方がよさそうです。10737mは約10kmですね。

 

では40回までおり進めましょう。

折った回数 紙の厚さ(km)
31 171.798
32 343.597
33 687.194(大気圏突破)
34 1,374.389
35 2,748.779
36 5,497.558
37 10,995.116
38 21,990.232
39 43,980.465
40 87,960.930

ここからは単位がkmになっていることに注意してください。

33回目についに大気圏を突破!ついに、折り紙が宇宙空間へ到達したのです。折り紙を33回も折らないでくださいね。地球から出ちゃいます。

39回折ると、約44,000kmです。地球の外周が40,075kmですので、地球一周よりも長い折り紙の完成です。そのまま横に倒すと、折り紙に自分の頭を後ろから叩かれますよ。

40回目で87,960kmです。月までの距離が384,400kmですので、もう少しです。

 

さらに、あと3回折りましょう。

折った回数 紙の厚さ(km)
41  175,921.860
42  351,843.720
43  703,687.441

42回目で、約352,000kmです。月まで(384,400km)にあとわずか足りません。

43回目についに月を超えました。

 

結論、”折り紙を42回折れば、ほぼ月までの高さになる”ということですね。

どうでしょうか?とっても少ない回数と感じませんか?

これなら、折れそうですよね!

 

ちなみに、太陽まで(149,600,000km)には、51回でした。

このように、どんどん倍にしていく計算というのは、人の予想よりもはるかに早く膨大な数になってしまうのです。

 

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42回折ってみよう!

42回なんて余裕で折れそうですよね。42回折って、月へ行っちゃいましょう!月は無理でも富士山くらいは行けるでしょ。

A4の紙で挑戦してみました。

結果は、7回まで折れましたが、8回目はどうやっても無理でした…

まっ、分かってたけどね。…でもこんなに折れないもんだとは…

 

まとめ

  • 人間の数学的な直観はあてにならない
  •  折り紙を折った高さは次の通り
    • 紙を23回折ると、スカイツリーに届く
    • 富士山まで届かせるには26回折ればよい
    • 33回目でついに地球の大気圏をぬけ宇宙に達する
    • 月まで届くための回数は42回
    • 太陽までは51回折る必要がある
  • 実際にチャレンジしたら7回折るのが限界だった。

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