【数学クイズ・パズル】A!+B!+C!=ABCが成り立つA、B、Cは何？

2018年8月25日2020年5月17日

数式に関する数学パズル

問題

では、問題です。

とりあえず、

「がむしゃらに数字を入れていく！」

というのも一つの戦略かもしれません。

 

思いついた数字を組み合わせて正解となる確率はどのくらいでしょうか？

答えが1通り存在するという前提で考えると、\(A\), \(B\), \(C\)ともに\(1\)～\(9\)の9通りあるわけですから、一回目で正解を当てれる確率は、

$$\text{一回目で正解を当てれる確率} = \frac{1}{9 \times 9 \times 9} = \frac{1}{729} = 0.137 \%$$

です。

宝くじの１等が当たるよりはだいぶマシですが、そう簡単に正解出せるものでもないようですね。

（Excelなど表計算ソフトで729通り数字を並べて計算すれば、意外と簡単かもしれません。お時間のある人は挑戦してみるのもいいですね。ただし、ここではそれは反則です。）

 

ちなみに、宝くじの当たる確率は以下の記事で紹介しています。

 

解答

使える数字を絞ろう

筋道を立てて、考えていくと見つけることができるはずです。

 

消去法で考えてみましょう。

「この数字を使うと、こうなるから、この数字は使えないな。」

というように使えない数字を除外していくのです。

 

考え方のヒントは、数式の右辺が３桁の数字だということです。

$$A! + B! + C! = ABC$$

 

右辺は階乗で構成されていますので、まずはそれぞれの数の階乗を確認してみましょう。

\(0\)は使えませんので、\(1\)から順番にその階乗を確認していきます。

\begin{align}
1! & =1 \\
2! & =2 \times 1＝2 \\
3! & =3 \times 2 \times 1＝6 \\
4! & =4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times 3! = 24 \\
5! & =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5 \times 4! = 120 \\
6! & =6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 6 \times 5! = 720 \\
7! & =7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7 \times 6! = 5040
\end{align}

 

ここまでで気づきましたか？

\(7!=5040\) で4桁の数字ですね。

和の計算をするわけですから、どんな数字を後２つ足しても、３桁の数字にはなりません。

「\(7!\)以上の階乗は使えないから、\(A\), \(B\), \(C\)は\(7\)以上はありえない」

ということがわかります。

 

では、\(A\), \(B\), \(C\)に\(6\)は使えるでしょうか？

$$6!=720$$

であり、3桁の数字ですね。使えるかもしれません。

 

しかし、ちょっと待ってください。満たすべき等式は、

$$A!+B!+C! = ABC$$

です。

ここで、\(6!\)を\(A!, B!, C!\)のいずれかに採用すると、左辺は和の計算なので以下のことが言えます。

\(A\), \(B\), \(C\)は\(720\)より大きな数になるため、和の結果が\(720\)より大きい数、\(800\)台、\(900\)台となってしまいます。

そうなると、\(A＝7, 8, 9\)を登場させなければなりません。

 

しかし、上で見たように、\(7!=5040\)で４桁であるため使えません。\(8!, 9!\)も同様の理由で除外すべきものでした。

よって、

「\(6!\)は使えない」

ということになります。また一つ数字が消去されましたね。

 

ここまでで分かったことは、

「\(A\), \(B\), \(C\)として\(6, 7, 8, 9\)は使えない。」

ということです。

よって、\(1\)～\(5\)の数字を考えていきましょう。

 

小さすぎる桁数はダメ

「\(6\)～\(9\)が候補から除外されたので、次は\(5\)を考える」と順番に数を減らしていって考えていくのもよですが、少し戦法を変えてみましょう。

 

考え方のヒントは、

「考えている等式（下式）の右辺は３桁の数字であるため、左辺が２桁になる場合は候補から除外してよいだろう」

$$A!+B!+C! = ABC$$

ということです。

 

例えば、\(A\), \(B\), \(C\)の中に\(5\)が存在しないとしましょう。

すると、等式の左辺が最大になるのは、3つの\(4!\)の和です。

$$4!＋4!＋4! = 72$$

2桁ですね。

右辺の\(ABC\)は３桁ですので、これではダメです。

 

したがって、

「3桁の数字を作るためには、\(4\)より大きく\(6, 7, 8, 9\)ではない数、つまり\(5\)が少なくとも1つは使われている必要がある」

ということがわかります。

 

そこでまずは、

\(5\)が３つ使われる場合を確認しましょう。そのとき、

$$5!＋5!＋5!＝360$$

であり、\(A!+B!+C!=ABC\)を満たしません。

よって、5! が３つ使われことはありません。

 

この段階で、\(5\)が２つ使われている可能性は残ります。

\(5\)が2つ使われている場合を計算してみましょう。

\begin{align}
5! + 5! + 1! = 241 \\
5! + 5! + 2! = 242 \\
5! + 5! + 3! = 246 \\
5! + 5! + 4! = 264
\end{align}

となります。

どれも問題の等式を満たしていないことはわかります。

 

さらに、上の式で左辺の和の順序が変わるパターンも考えなければいけませんが、右辺の答えを見てみると、そもそも\(5\)が存在しません。

左辺には\(5\)が必ず使われますから、和の順が変わるパターンも等式を満たす場合はないと考えて良さそうです。

ここまでの考察により、\(A\), \(B\), \(C\)には\(5\)は一つだけ含まれていることが分かります。

 

ここまでで、わかったことをまとめましょう。

\(A\), \(B\), \(C\)には、

• \(6, 7, 8, 9\)は使えない
• \(5\)が１つだけ存在する

 

いよいよラストスパート

ここまでわかっている情報（上記）をもとに、問題の等式の左辺の最大値を考えましょう。

それは、4!を使うことですから、

$$5! + 4! + 4! = 168$$

です。

 

これまでの条件下で考えると、一番大きな数でも100台であることがわかります。

ゆえに、

$$A=1$$

と決まります。

 

これより、条件は次のように更新されました。

\(A\), \(B\), \(C\)は、

• \(A=1\)である
• \(6, 7, 8, 9\)は使えない
• \(B\), \(C\)のどちらか１つが\(5\)である

 

よって、次の２通りまで絞ることができます。

• \(A＝1\) \(\quad\) \(B=5\) \(\quad\) \(C=4,3,2,1\)
• \(A＝1\) \(\quad\) \(B=4,3,2,1\) \(\quad\) \(C=5\)

 

ただし、必ず答えがあるとは限りません。

問題の等式を満たす数字が存在しないことだってありえます。

 

とりあえず、上の２パターンを順番に考えていきましょう。

まずは、「A＝1、B=5、C=4,3,2,1」の場合です。

この中の最大の数は、

$$1!＋5!＋4!＝=145$$

です。

問題の等式を満たすには、右辺は\(154\)にならなければいけないので、これはダメですね。

 

このあとも\(C=3,2,1\)を計算して確かめていくのは簡単ですが、ここまでで次のことが言えます。

\(A=1\)、\(B=5\)であるとき、\(1!＋5!＋□!＝15□\)のように右辺の数は150台でなければなりません。

しかし、最大の和である1!＋5!＋4! =145で、すでに150台でないですから、それより小さい階乗が□に入る場合はすべて答えではありえないということです。

よって、「A＝1、B=5、C=4,3,2,1」のパターンに答えはありません。

 

いよいよ残りは4つです。

「A＝1、B=4,3,2,1、C=5」のパターンを計算していきましょう。

\begin{align}
1!＋1!＋5!=122 \\
1!＋2!＋5!=123 \\
1!＋3!＋5!=127 \\
1!＋4!＋5!=145
\end{align}

上式の最後の式をご覧ください。

ついに、やりましたね。

 

\(A\), \(B\), \(C\)の値は、

\begin{align}
A = 1 \\
B = 4 \\
C = 5
\end{align}

$$1!＋4!＋5!＝145$$

これが、問題の等式（\(A!+B!+C!=ABC\)）を満たす唯一の\(A\), \(B\), \(C\)の値です。

 

どうでしょうか？結構、難しかったと思います。こんな問題がもっと解きたい人は、以下のページの「ちょっと数学的」という項目をチェックしてみてください。

 

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まとめ

• 「\(A!+B!+C!=ABC\)を満たす\(A\), \(B\), \(C\)は何か、ただし\(1\)～\(9\)の範囲で」という問題でした。
• この問題は消去法で候補の数字を絞っていくことで解くことができます。
• 少しずつ理論立てて進めていくと徐々に使える数字が絞れていき面白いですね。