【中学数学(因数分解)】素因数分解のわかりやすい解説・入試問題

2020年3月17日

この記事では素数と素因数分解について説明しています。

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素数と素因数分解の説明

素数、素因数分解という単語を聞いたことがある方は多いと思いますが、きちんと理解できている方は少ないのではないでしょうか?

 

素数、素因数分解は出題率はそれほど高くないですが、高校入試でもちらほら見かけます。

出題率が低い分問題のパターンは限られており、複雑な計算もないので短い勉強時間で比較的点数のとりやすい分野です。

高校になってからも出てくるので、この記事を読んでしっかり理解・対策しましょう。

 

まずはじめに素数、素因数分解とは何か説明していきます。

以下に素数、教科書などでよく見かける素数、素因数分解の説明を書きます。

 

その数自身より小さい自然数の積で表すことのできない自然数を素数という。※ただし\(1\)は素数にふくめない。

積をつくっている\(1\)つ\(1\)つの自然数を、もとの数の因数といい、素数である因数を素因数といいます。
自然数を素因数だけの積の形に表すことを 素因数分解する といいます。

・・・何を言っているのかさっぱりわかりませんね(-_-;)

 

素因数分解を私なりに一言で説明すると、”問題になっている数字をできるだけ小さいかけ算だけの形にする”です。

実際に何か数字を例にあげてわかりやすく説明すると

 

”\(30\)を素因数分解しなさい”という一番基本的な問題で考えてみましょう。

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素因数分解の基本問題

\(30\)を素因数分解しなさい

 

ただ因数分解するだけなら

\(30=5×6\)

なのですが、素因数分解は、できるだけ小さい数のかけ算だけの形にしなければいけません。

\(6=2×3\)

とさらに分解することができるので、最終的に

\(30=5×2×3\)

と表す事ができます。

\(5\) と \(2\) と \(3\) はこれ以上小さい数字のかけ算に分解することはできませんね。

なのでこれが正解です。(特に決まりではないが、\(2×3×5\) と数字の小さい順に書くのが一般的です。)

ちなみに \(2、3、5\) のようにこれ以上分解できない数字のことを素数と言います。

”\(2、3、5\) のような素数のかけ算に分解することが素因数分解だ”と覚えた方がいいかもしれませんね(^^)

 

素因数分解を”できるだけ小さいかけ算の形にする”と一言で表しましたが、いくつか守らなければならない条件があります。
条件\(1\)・・・\(1\) は使ってはいけません
条件\(2\)・・・マイナスは使ってはいけません
条件\(3\)・・・少数、分数は使ってはいけません
条件\(4\)・・・\(3×3\) の場合は \(3^2\) と書きます
条件\(5\)・・・小さい素数 \(2、3、5、7\) から順番に割っていく

 

以上の条件をを守れば素因数分解はそれほど難しくないでしょう。

条件を守りながら実際に基本問題を解いていきます。

素因数分解の練習問題

\(180\)を素因数分解しなさい。

手順1. \(180\) をできるだけ小さい素数 \((2、3、5、7)\) で割ります。

\(2\) で割ると \(90\) になるので

\(180=2×90\) と表せます。\(90\)はまだ分解できますね。

\(90\) は \(2\) で割ると \(45\) になるので
\(180=2×2×45\) と表せます。\(45\)はまだ分解できますね。

\(45\) は \(3\) で割ると \(15\) になるので
\(180=2×2×3×15\)と表せます。\(15\)はまだ分解できますね。

\(15\) は \(3\) で割ると \(5\) になるので
\(180=2×2×3×3×5\)

これ以上小さい数字に分解することはできませんね。
\(180=2×2×3×3×5\)
\(2×2\) は \(2^2\)、\(3×3\) は \(3^2\) と書かないといけないので

\(180=2^2×3^3×5\)  これが答えになります。
やり方さえ覚えたらすぐにできると思います。

素因数分解流れ図

上でも少し触れましたが素数とは、”\(1\) 以外のそれ以上小さい数字のかけ算の形に分解できないもの”です。
\(2、3\) はこれ以上分解できないので素数ですが、\(4\) は \(2×2\) と分解できるので素数ではありません。
\(1\) も素数ではありません。

\(1\) から \(100\) までの数字で素数がわかる表をのせておきます。

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素数表

素数表

\(1~100\) までの数字で間違いやすいものを下に書いておきます。

\(1\)・・・\(1\) は素数じゃありません。
\(51\)・・・\(3×17\) と表せるので素数ではありません。
\(57\)・・・\(3×19\) と表せるので素数ではありません。
\(87\)・・・\(3×29\) と表せるので素数ではありません。
\(91\)・・・\(7×13\) と表せるので素数ではありません。

このあたりは間違いやすいので、特に気を付けましょう。

分数の問題で \[\frac{13}{91}\] となった場合は必ず約分して \[\frac{1}{7}\] と書きましょう。

 

最後によく見かける素因数分解を使う問題を紹介します。

素因数分解を使う問題と言ったらほとんどこのパターンです。必ずマスターしましょう。

素因数分解を用いた実践問題

\(48\) にできるだけ小さい自然数をかけてある整数の平方にしたい、何をかければよいか。

 

この問題で平方という見慣れない言葉が出ていますね。平方という言葉をどこかで見たことはありませんか。そうです【】です。

平方メートルはメートルの \(2\) 乗と書きますね。平方は \(2\) 乗を意味する言葉です。

ちなみに立方メートル【㎥】の立方は \(3\) 乗を意味する言葉です。

 

問題文を言い換えると

\(48\) にできるだけ小さい自然数をかけてある整数の \(2\) 乗にしたい、何をかければよいか。

問題文の意味は理解できましたか。まだよくわからないですね。

文章問題をイメージできないときには、実際に答えに \(1\) つ小さい数をあてはめてみるとイメージしやすくなります。

この問題の答えに \(2\) をあてはめて考えてみましょう。

\(48\) に \(2\) をかけると \(96\) になります。何かの \(2\) 乗になっていませんね。

\(2\) じゃない他の数字をかけたら何かの \(2\) 乗になりました。何をかけたか答えなさい。

こう言い換えると、イメージしやすいと思います。

問題にとりかかる前に、\(2\) 乗になる数字 (\(4、16、36、64\)) をいくつか例に挙げて、素因数分解をしてみると、どんな特徴があるかわかるので見ていきましょう。。

\(4\) = \(2×2\) = \(2^2\)

\(16\) = \(2×2×2×2\) = \(2^4\)

\(36\) = \(2×2×3×3\) = \(2^2×3^2\)

\(64\) = \(2×2×2×2×2×2\) = \(2^6\)

共通点は見つかりましたか?素因数分解したときに \(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗(偶数)のかけ算だけの形になっていますね。

\(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗(偶数)のかけ算だけの形にさえなっていれば、もとの数字は必ず何かの \(2\) 乗になっているとも言い換えられます。

 

 

2乗の特徴

 

 

ここまで来ればピンときた人もいるのではないでしょうか。

問題に戻ってみましょう。

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実践問題2

\(48\) にできるだけ小さい自然数をかけてある整数の平方にしたい、何をかければよいか。

まず、\(48\) を素因数分解してみましょう。

$$48=2×2×2×2×3=2^4×3$$

\(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗(偶数)のかけ算だけの形になっていませんね。

何をかければ \(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗(偶数)のかけ算だけの形になるでしょうか?

\(2×2×2×2×3\)\(×3\)=\(2^4\)×\(3^2\)

\(3\) をかければ \(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗(偶数)のかけ算だけの形になるので、\(3\) が正解です。

答えがちゃんと \(2\) 乗になっているか確かめます。

$$48×3=144=12^2$$

\(48\) に \(3\) をかけると \(12^2\) になっています。

問題を解く手順をまとめます。

  1. 素因数分解をする。
  2. \(2乗、4乗、6乗\) のかけ算になっていない(仲間はずれ)を探す。
  3. 仲間外れになっているものをかけたものが答えです。(答え方に注意)

素因数分解確認

最後にいくつか練習問題をしてみましょう。

実践問題3

\(60\) にできるだけ小さい自然数をかけてある整数の平方にしたい、何をかければよいか。

手順1.素因数分解をします。

$$60=2×2×3×5=2^2×3×5$$

手順2.仲間はずれを探します。

$$仲間外れは 3,5 です$$

手順3.\(3\) と \(5\) をかけたものが答えです。

$$3×5=15$$

答え \(15\)

因数分解確認2

 

問題

\(280\) にできるだけ小さい自然数をかけてある整数の平方にしたい、どんな整数の平方になるか。

手順1.素因数分解をします。

$$280=2×2×2×5×7=2^3×5×7$$

手順2.仲間はずれを探します。

仲間外れは\( 2,5,7\) です

手順3.普通の問題なら \(2,5,7\) をかけたものが答えですが、この問題ではどんな整数の平方になるかを聞かれているので、\(280\) に \(2×5×7\) をかけたものが何の平方になっているかを答えないといけないです。

\(2^3×5×7\)\(×2×5×7\)=\(2^4×5^2×7^2\)

\(280\) に先ほど求めた \(2×5×7\) をかけることで、\(2\) 乗、\(4\) 乗、\(6\) 乗のセットを作りました。これが何の平方になっているか考えます。

\(2^4×5^2×7^2\) を \(2\) つに分けて、そのうちの \(1\) つが答えになります。

\(2^4×5^2×7^2\)=\(2^2×5×7\)×\(2^2×5×7\)=\(\(2^2×5×7\)^2\)

\(2^2×5×7\) の平方になっていますね。

(   )の中を計算します。

\(2^2×5×7=140\)

\(140\) の平方になっていることがわかりました。

答え \(140\)

因数分解確認3


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2020年3月17日中学数学, 因数分解素因数分解, 素数

Posted by masa