虚数の意味や面白い性質を紹介

虚数って何か意味あるの?
実数係数の一次方程式を解くときは、その解は、必ず実数ですよね。
しかし、二次方程式を解くと、判別式が0より小さい時、その解は虚数となります。
虚数の解とは、一体何を意味するのか?
二乗して0より小さい数とは、一体なんなのかイメージが湧きにくいと思います。
この現実(実数)の世界に存在しない数を学んで一体なんの意味があるのか、複素数は一体
なんの役に立つのかを解説していきます。
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虚数とはそもそも何か?
虚数とは英語でimaginary number(イマジナリーナンバー)といって、想像上の数というものです。
特に、\(i=\sqrt{-1}\)は虚数単位といって、これを2乗すると、
$$i \times i = -1$$
となります。
2乗するとマイナスになる数とはイメージがわかないですよね。
虚数は、この現実の世界には、存在しない数なのです。
複素数はとは何か?
この虚数単位が入った数を複素数といいます。
複素数全体の集合\({\bf C}\)は、
$${\bf C} = \{ a+bi \ | \ a, b\text{は実数}\}$$
と定義され、足し算に関して、
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$
と定めると、\({\bf C}\)は足し算に関して、加法群の構造を持ちます。
「加法群の構造を持つ」というのは、具体例として、整数からなる集合\({\bf Z}\)に足し算という演算\(+\)を入れると、結合法則、単位元\(0\)が存在し、整数\(a\)の逆元は\(-a\)となり、(この3つの性質を群と言います。)さらに、整数\(a, b\)にたいして\(a+b\)も整数となる(\(+\)について閉じていると言います。)ので、\({\bf Z}\)は足し算という演算\(+\)に対して、群の構造をもつと言います。
ざっくり言えば、足し算と引き算ができる集合のことを加法群と言います。
体(たい, 英語ではfield)というのは、足し算、引き算、掛け算、割り算ができる集合の事です。
したがって、複素数全体の集合\({\bf C}\)は、加法群として二次元実ベクトル空間\({\bf R}^2\)と\({\bf C} \rightarrow {\bf R}^2, \quad a+bi \mapsto (a, b)\)と対応させることによって、同一視することができます。
そして、複素数の掛け算を、
$$(a+bi) \cdot (c+di) = ac – bd + (ad + bc)i$$
複素数\(a+bi\) (\(a\), \(b\)も共に\(0\)ではない実数)の逆数を、
$$\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$$
と定義すると、複素数全体の集合\({\bf C}\)は、可換体の構造を持ちます。
つまり四則混合の計算が可能な集合となるのです。
しかし、実数\({\bf R}^2\)とは異なり、実数\({\bf R}^2\)の大小関係の延長である数の大小関係に関して順序を持ちません。
簡単に言えば、例えば、\(\sqrt{-1}\)が、\(0\)より大きいのかそれとも小さいのかを議論することができないということです。
それを簡単に見てみましょう。背理法を使って見てみます!
つまり、\(\sqrt{-1}\)が、\(0\)より大きい(もしくは小さい)と仮定し、矛盾を導きます。
$$\sqrt{-1} > 0$$
と仮定すると、両辺に\(\sqrt{-1}\)をかけると、不等号の向きが変わらないので、\(-1>0\)となり、矛盾します。
また、
$$\sqrt{-1} < 0$$
と仮定すると、両辺に\(\sqrt{-1}\)をかけると、不等号の向きが変わり、\(-1>0\)となり、矛盾します。
また、\(\sqrt{-1} \neq 0\)なので、\(\sqrt{-1}\)は、\(0\)より大きくも小さくもなく、\(\sqrt{-1}\)と\(0\)との大小関係の比較ができないということを意味します。
以上で、複素数は二次元実ベクトル空間であり、実数における数の大小関係の延長における数の大小関係に関して、複素数は順序を持たないことがわかりました。
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複素数を可視化するために複素数平面が導入された
複素数は現実世界には存在しないので、可視化することができません。
そこで、ガウスは、19世紀の前半に、複素数平面というものを導入し、複素数を二次元平面(xy平面に置けるx軸を実軸に、y軸を虚軸)にすることによって、複素数を可視化しました。
複素数の代数演算は、複素数平面上で考えると理解しやすいです。
上記で述べたように複素数は二次元実ベクトル空間と同一視できますが、これはあくまでも、足し算・引き算(加法・減法)についてであり、複素数の足し算・引き算(加法・減法)は、二次元実ベクトルの足し算として捉えることができます。
二次元実ベクトル空間では、掛け算は定義されていないので、複素数の掛け算、特に\(\sqrt{-1}\)を掛けるとは一体何を意味するのか、疑問が出てきます。
複素数平面において、\(1\)という実数は実軸にあります。
\(1\)に\(\sqrt{-1}\)を掛けると、\(\sqrt{-1}\)は虚軸にあります。
そして、もう一度\(\sqrt{-1}\)をかけると、\(-1\)になり、それは実軸にあります。
さらに、もう一度\(\sqrt{-1}\)をかけると、\(-\sqrt{-1}\)になり、虚軸にあります。
そして、最後にもう一度\(\sqrt{-1}\)をかけると\(1\)となり、元の位置に戻ります。
つまり、
\(\sqrt{-1}\)は、複素数平面では、\(\pi/2\)回転(\(90^{\circ}\)回転)
を意味します。
このように複素数平面を考えることにより、複素数の代数演算は幾何学的操作として捉えることができます。
ではより一般に、複素数平面における複素数\(a+bi\)(\(a, b\)は実数)を掛けるとは一体何を意味するのでしょうか?
複素数の乗法は、実数倍して回転を表す
複素数\(a+bi\) (\(a, b\)は実数)を掛けるとは、複素数平面では、何を意味するのでしょうか?
複素数の掛け算は以下のようになります。
$$(a+bi) \cdot (c+di) = ac-bd+(ad+bc)i$$
この式では複素数平面では何を意味しているのかわかりかねます。
そこで、\(a+bi\)のように直交座標系で表すのではなく、極座標系で見てみることにします。
まず、複素数\(a+bi\)の絶対値を、
$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$
と定義します。
もともと絶対値とは、数直線で考えると、原点からの距離でした。
従って、複素数の絶対値も、複素数平面における原点からの距離という意味で捉えると、上の定義
は妥当だということがわかります。
そして、原点から点\(z=a+bi\)まで引いた線分と実軸とのなす角度を\(\theta\)とすると、この\(\theta\)を偏角といい、\(\theta=\arg(z)\)としばしば表されます。
すると、点\(a+bi\)は、\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)とおくと、\(a=r \cos \theta, b=r \sin \theta\)と書くことができます。
まとめると、
$$a+bi = r (\cos\theta+i\sin\theta) = r e^{i \theta}$$
と書くことができます。
ただし、
$$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos{\theta} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \quad \sin{\theta} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
です。
ここで、\(e^{i \theta} = \cos\theta+i\sin\theta\)は、オイラーの公式と言われ、指数関数と三角関数が虚数によって関係式が得られるという公式です。
複素数\(z\)が\(z=re^{i\theta}\)と極座標で表される時、極座標で表された複素数\(w=\rho e^{i\phi}\)を掛けると、
$$zw = r \rho e^{i(\theta + \phi)}$$
となるので、複素数\(w=\rho e^{i\phi}\)を掛けるという意味は、実数\(\rho\)をかけて、\(\phi\)回転するという意味になります。
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複素数の加法と乗法は代数的にどんな意味を持つか
複素数の加法は、群をなし、二次元実ベクトル空間と同一視されます。
より厳密に言えば、複素数の加法群は、二次元実ベクトル空間と代数的に同型となります。
では、複素数の乗法は、一体どのように表されるのでしょうか?
複素数の乗法は、「複素数の乗法は、実数倍して回転を表す」で述べたように、実数倍(拡大・縮小)して、回転を表します。
つまり、線形代数の言葉で言うと、\(2 \times 2\)の回転行列の実数倍として表されます。
今、\(SO(2)\)を\(2 \times 2\)の直交行列全体の表す集合とします。
つまり、
\begin{align}
SO(2) = \left[
\begin{array}{rrr}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array}
\right] \mid \theta \text{は実数}
\end{align}
とします。すると、\(SO(2)\)は行列の乗法に関して群をなします。複素数の乗法群を\(\Theta\)として、\(S^1 = \{ z \in \Theta \mid \mid z \mid = 1 \} = \{ z \in \Theta \mid z = e^{i \theta} (\theta \in {\bf R}) \} \)とすると、次の対応を得ます。
\begin{align}
S^1 \rightarrow SO(2) , \quad e^{i \theta} \mapsto \left[
\begin{array}{rrr}
\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\
\sin{\theta} & \cos{\theta} \\
\end{array}
\right]
\end{align}
つまり、単位円は2×2の直交行列全体の表す集合\(SO(2)\)と同一視することができます。
より厳密に言うと、単位円は2×2の直交行列全体の表す集合\(SO(2)\)と代数的に同型となります。
以上で、複素数の加法群は二次元実ベクトル空間と代数的に同型であり、複素数の乗法群は2×2の直交行列全体に実数倍したものと代数的に同型であるということがわかります。
複素数ならではのメリット
複素数を学んで一体何のメリットがあるのか、それは、実数では成り立たない概念が複素数では成り立ってしまうこと、実数だけでは計算が難しいものでも複素数では計算がしやすくなったりと、具体例をあげていきます。
例1
実数上で定義された実数値関数、
\begin{align}
f(x) = \left\{
\begin{array}{l}
e^{-\frac{1}{x}} \quad & \text{if} \quad x > 0\\
0 \quad & \text{if} \quad x \leq 0
\end{array}
\right.
\end{align}
を考えると、\(f(x)\)は\(x=0\)で何回も微分可能ですが、\(x=0\)でTaylor展開はできません。
しかし、複素数上では違ってきます。
複素数上の関数\(f(z)\)が複素数値\(z=a\)で微分可能ならば、\(f(z)\)は\(z=a\)でTaylor展開可能となります。
これを保証しているのが、複素解析を学習することによって、学ぶ有名なCauchyの積分公式です。
\({\bf D}\)を複素数平面に置ける連結開集合(領域)とし、\(f\)を\({\bf D}\)上微分可能な複素数値関数\({\bf E} \subset {\bf D}\)、を閉円板とし、\(\hat{\bf E}\)を\({\bf E}\)の内点の集合とし、\(\partial {\bf E}\)を\({\bf E}\)の正の向きの境界とした時、次の公式をCauchyの積分公式と言います。
$$f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial {\bf E}} \frac{f(\zeta)}{(z – \zeta)} d \zeta \quad (\forall_Z \in \hat{\bf E})$$
例2
\(n\)次代数方程式は、複素数上まで考えると、複素数上で重根を込めて\(n\)個の複素数解を持つという代数学の基本定理があります。
言い換えると、\(f(z)\)を複素数係数の\(n\)次方程式とした時、\(f(\alpha)=0\)となる複素数\(\alpha\)が存在します。
実数上ではこの定理は成り立ちません。
この定理は、複素解析を学習すると、上に有界な正則関数(微分可能な複素数上の関数)は定数に限るというLiouvilleの定理とか、偏角の原理とか、Roucheの定理などの様々な定理を利用しすることによって、証明することができます。
代数方程式を解くときに、複素数の範囲で考えたほうが、重複を許して一次式の掛け算として、因数分解できるので、複素数の利便性がわかります。
例3
$$I = \int_0^{\infty} \frac{x^{m-1}}{1+x^n} dx, \quad (0<m<n, \text{\(m\), \(n\)は整数})$$
とか、
$$J = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos{x}}{x^4-1} dx$$
などの広義積分を計算するように言われた時、見た目は簡単でも、実際実数の範囲内だけで計算するとなると結構難しいです。
被積分関数が初等関数で書くことができずに、その広義積分を求める時、複素解析に置ける留数定理を使うと、一見計算できなさそうな広義積分もあっさりと計算できてしまいます。
それも複素数ならではの魅力です。
複素数の物理学への応用
物理学では、もともと物質、空間などの現実空間にある対象を物理法則を用いて解明していきます。
波動・振動論やFourier解析等は、Eulerの公式を用いることによって、複素数の利便性を発揮することができます。
しかし、本当に虚数という現実にない空間を使わなければ、この世界に起きている物理法則を解明することができないものがあります。
量子力学や素粒子物理学、宇宙物理学などミクロな世界を扱うとき、本当の意味で虚数が必要になってきます。
量子力学における複素数が現れるのは、運動量が量子力学では、\(- \hbar \nabla\)と表されたり、複素数を使ったHeisenbergの行列力学を用いることによって、運動量\(p\)と位置\(x\)を同時に正確に決定できないという有名なHeisenbergの不確定性原理(\(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\))を導いたりと物理学、特にミクロな物理学では複素数は必須の概念となっています。
また、実在するかどうかはわかっていませんし、観測もできていませんが、光速を上回る空想上のエキセントリックな物質として複素数という質量を持った物質(タキオン)などを考えると、宇宙がなぜ加速膨張しているのか説明ができるらしいです。
まとめ
虚数や複素数がなぜ必要なのか、何の役に立つのか、数学や物理学で一体どのように使われているのかを具体例をあげながら説明しました。
この記事を機会に、身近に複素数という概念を感じられたら嬉しいと思います。
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正の数=負の数×負の数
負の数=虚数×虚数
すなわち
正の数=虚数×虚数×虚数×虚数
と言うことは、すべての数は虚数によって表すことができる。すなわち虚数は数の根本である。
実数がこの世で物体になっているものとすると、虚数は物体化していないものを表す。すなわちこの世の構成している大元は虚数である。それは光子であると思う。虚数には実体がないので質量はない。すなわち光子にも質量はない。
数学の大本となっているのは虚数である。方程式における虚数解は実は意味がある。交わらない二つの曲線と、曲線または直線の虚数解は、虚数空間レベルでの交点を示す
宇宙の謎は虚数の謎を解けばすべてわかる
ファラデーの左手の法則や右手の電流の法則、右ネジの法則は地球や太陽系の回転軸と関係がある。
右ネジの方向に進んでいけば時間が進む。逆に回せば時間が戻る
質量が虚数なら光より速い。でも光速は2億より速い。
この世のものは初めはすべて虚数で満ちていた。虚数が掛け算を起こして負の数が生まれ、負の数と負の数が掛け算して正の数が生まれた。正の数は負の数と対局するが正の数は負の数から生まれた。しかし正の数は人気があり明るい。僕のイメージですかが。虚数はこの世に満ちているが質量はない。幽霊とは虚数でできていて時々負の数になるのかもしれない。幽霊や精神は電子ででいている。、負の数である。実際神経は電気信号である。化学伝達もするが。
テレポーテーションは二つの実数解を持たない曲線が持つ虚数解が、交点となることにより実現できる‼️
複素平面で掛け算は回転を意味するので虚数が融合して負の数になるとき回転をおこすのであろう。すなわちもし光子が虚数なら回転を起こして電子になる。電子は負の数である。
この世が虚数から実数が生まれるとき、回転が必要である。すなわちこの世が回転を始めたとき虚数から負の数が生まれ、負の数から正の数が生まれていった。それは左回転であろう。つまりこの世宇宙には軸がある。左回転の軸である。銀河系、太陽系、地球等みんな軸があるから考えられる。この回転軸によって虚数から負の数そして正の数が生まれていった
この世は左巻きによって生まれていった。すなわち左巻きに回転させることによって時間は進み 右巻きに回転させることによって時間は遅れる。すなわちタイムマシンを作り、その外側で宇宙を左巻きさせれば未来いけ、右巻きに回転させることによって過去に行ける。膨大な力が必要である。高電圧を起こし、高電流を使えば可能となるだろう。
虚数とオカルトは関係がある。占いや呪い等はみんな虚数の影響である。心霊現象も虚数は関係している、虚数空間によって時間や空間が離れていても繋がりがある場合がある。虚数と無常とか無は関係がある。虚数とタイムマシンやUFOは関係ある
もともと何もなかった。そこへ創造主である神様が、球体で空間を作り仕切った。そして天と地を作った。それがこの世である。そしてそのこの世に光つまり光子つまり虚数を与えた。そしてこの世を回転させた。回転軸を作った。そして虚数から電子が生まれ、電子から陽子が生まれ、陽子と電子から中性子が生まれた。そして水素が核融合を起こしてヘリウムやその他いろいろな原子を作り、分子を作っていった。そして炭素出来たとき、生物が生まれていった。炭素とと窒素と酸素と水素によってたんぱく質ができ、生命体が生まれた。水素の核融合によって莫大なエネルギーが生まれ宇宙は膨張を始めた。
宇宙が、水素の核融合によって莫大なエネルギーができたことにより、ビッグバンを始めた時、左巻き回転を始めたのかも知れない
すべての素粒子は虚数すなわち光子のの組み合わせによって出来ている。それは回転が関係する。回転とは掛け算である。
すべての素粒子は虚数すなわち光子のの組み合わせによって出来ている。それは回転が関係する。回転とは掛け算である。2つ以上の光子が結び付き回転することによって質量が生まれる。質量とは運動量である
宇宙の謎は虚数の謎を解けばすべてわかる
宇宙の謎は虚数の謎を解けばすべてわかる
ファラデーの左手の法則や右手の電流の法則、右ネジの法則は地球や太陽系の回転軸と関係がある。
複素数=a+bi=実数+実数×i=虚数×虚数×虚数×虚数+(虚数×虚数×虚数×虚数)×虚数 実数が正の数の場合
実数が負の数の時は実数は虚数×虚数となる
純虚数は複素平面上では虚軸上にあるので、プラスかマイナスかと言う点ではゼロと同等なので、大きさはゼロと言えるのかもしれませんね。ちょっと難しいですが。プラスかマイナスかという大きさは実軸上で言えることなので。
純虚数は大きさは実数概念ではゼロですからね。
虚数解は虚数空間における交点であり、現実の世界では離れている二つの物体の見えない繋がりであり、縁と言えるものかもしれません。
虚数解を使えば、三次元的に離れている二つの場所の交点がわかり、テレポーテーションが可能となるかも。
≪…虚数の解とは、一体何を意味するのか?…≫を、
『身体がする数学』として『離散的有理数の組み合わせによる多変数創発関数論 命題Ⅱ』の帰結から、十進法の基での桁表示の【数そのモノ】がライプニッツの《モナド》としての『同定』を『自然比矩形』に[感応]して[四則演算]を伴い[自然数](【数そのモノ】)そのものが、[高階述語論理]を具備した言葉(言語)と看做せるように観得る。
これから、[数学概念]として[認知科学]的に[-]を『思考する時間』として[人]が気付かないうちに織り込み済みだったのだ。
[人]が[数学的思考]する[平面](二次元)が、『角付け』(虚数i)を[内在秩序]化していたのだ。
これらのことを西洋数学の成果の6つのシェーマ(符号)で観ると、二次方程式の≪…虚数の解…≫を、平面座標(実数面)から『角付け』(虚数面)へ[i](π/2)回転した二次曲線の「変曲点」の位置(座標)の[数値]を表示する。
[実数]は、そのままの[値]だが、[虚数]の係数は平方根に縮まっているのは、(虚数i)が平方根表示に生り[単位正方形]の√2に[双対]していると観る。
これは、『自然比矩形』からの[正方形](二次元)の[1]を生む[数学的思考]の[過程]に『同定』できる。
因みに、『(わけのわかる ちゃん)(まとめ ちゃん) (わけのわからん ちゃん)(かど ちゃん)(ぐるぐる ちゃん)(つながり ちゃん)』の[御伽草子](寓話)が、観られるといいのだが。
光子は質量がないので純虚数と思われる。質量は実数で表される
数学は純虚数のみの四則演算によって全て記述できるため、純虚数が数字の根本だと考えられる。また光子が純虚数とすると、この世の物質は光子によって全て出来ていると考えられる。
統一場理論も教育によって解決する。すなわち、光子にが虚数とすると、もともと光子によって万有引力の性質を持ち、回転によってじ実数になることによって質量が生まれ、さらに回転によってマイナスとプラスが生まれることによって電磁力が生まれる
ありがとうございます。
≪…離散的有理数の組み合わせによる多変数創発関数…≫の
[眺望]は、[絵本]「もろはのつるぎ」で・・・