【中学2年数学（確率）】区別して確率問題を解く理由 – なぜ区別しないとダメなのか？
- 確率で”区別して考える”がイマイチわからない
- なぜ区別して考えないといけないかを知りたい
- 確率の問題でよく同じ間違いをしてしまう
確率の問題ではよく、”区別して考えなさい”と言われます。
そんなとき、「区別って？」や「区別しないとなんでいけないの？」と思ったことはありませんか？
ここでは、そんな方の悩みを解決するためのページです。
【動画解説】
※記事の内容はもっと詳しい説明となっていますので、記事にも目を通してみてくださいね。
確率問題を区別して解くとは
よく確率を勉強していると、”区別して考える”という言葉が登場します。
まずはじめに、”区別する”とはどのような意味なのかを復習しておきましょう。
例題を使って説明します。
例えば、次のような問題が出題されたとします。
2枚のコインを同時に投げて、両方とも裏である確率を求めなさい
この問題を2枚のコインを区別して考えた場合と、区別しないで考えた場合の両方について見ていきましょう。
区別して考える
まずは、コインを区別して考える場合を説明します。
このとき、コインの裏表のすべてのパターンを描くと、
となります。
コインを区別しているので、コインに”1個目”と”2個目”というふうに名前を付けました。
このように、2つのコインに別の名前をつけて区別しているのですね。
②と③は表と裏が1枚ずつですが、1個目が表の場合と、2個目が表の場合では違うパターンとして扱います。
すべてのパターンは全部で4通りですね。
さて、問題は両方とも裏である確率を求めることです。
この4通りの中で、二つのコインが裏のパターンは④の1通りだけですね。
なので、
$$\text{2枚のコインを投げて、両方とも裏である確率} = \frac{1}{4}$$
となります。
これが正解の答えです。
区別しないで考える
次に、コインを区別しないで考える場合はどうなるでしょうか？
このとき、コインの裏表のパターンは、
のようになります。
コインを区別していないので、1枚のコインが表で、もう1枚のコインが裏であれば、それで1パターンとしています。
なので、表が1つと裏が1つである②のパターンは1つしかないのです。
よって、すべての場合の数は3通りとなります。
これより、答えは、
$$\text{2枚のコインを投げて、両方とも裏である確率} = \frac{1}{3}$$
となります。
しかし、この答えは間違っています。
それは、①や③が出る確率がそれぞれ\(\frac{1}{4}\)なのに対して、②が出る確率は\(\frac{1}{2}\)と①～③では出る確率が違っているからです。
\begin{align}
\text{①のパターンになる確率} = \frac{1}{4} \\
\text{②のパターンになる確率} = \frac{1}{2} \\
\text{③のパターンになる確率} = \frac{1}{4}
\end{align}
パターン分けして、場合の数から確率を求めるときは、すべてのパターンで出る確率が同じでなければいけません。
”すべてのパターンで出る確率が同じ”であることを確率の分野では「同様に確からしい」というのですが、授業などで聞いたことはありませんか。
確率の問題は、この「同様に確からしい」条件のもとで考えないといけません。
でも、なぜ②のパターンだけ出る確率が違うのでしょうか？
「②のパターンだけ出る確率が他のパターンよりも高いと言われても、感覚的にわからないよ」
と思うかもしれません。
わたしがそうでしたので。
以下では、
「②のパターンが出る確率が高いのはなぜ？」
「なぜ区別しないで出した答えは間違っているの？」
を納得してもらうために、様々な考え方を紹介します。
スポンサーリンク
たくさんのコインがあると考える方法
上で述べたような理由を感覚的に理解するために、多くの参考書やサイトで、
”たくさんのコインがあると考えてみるとよい”
とあります。
例えば、上で紹介した問題は、コインが2枚でした。
このコインを100枚にして考えてみるのです。
この100枚のコインを一斉に振った時、すべてが表になる確率はどのくらいでしょう？
すぐにはわかりませんが、か～なり低いことは想像できますよね。
次は、100枚のコインのうち、半分の50枚が表、残り50枚が裏になる確率を想像してみましょう。
こちらは、ちょうど半分半分でコインの表と裏が出る確率は、低いでしょう。
しかし、すべてのコインが表になる確率よりも高いと感じませんか？
つまり、100枚のコインを振ったとき、
$$\text{すべて表の確率} < \text{表と裏が半分ずつの確率}$$
ということになります。
このことはコインが100枚でなくとも、成り立つはずです。
なので、コインが2枚のときでも、
$$\text{すべて表の確率} < \text{表と裏が半分ずつの確率}$$
が成り立つとすれば、
上の図のようになり、確率が違うことが納得できるのではないでしょうか？
なので、
となるのですね。
ここまで読んで納得した人は、ラッキーです。
しかし、まだまだ納得できない人もいることでしょう。
そんな人は、次の説明を用意してあります。
連続でコインを振ると考える
上の図が納得できない人へ続いての説明です。
コインを2枚に戻しましょう。問題を思いだすと、
2枚のコインを同時に投げて、両方とも裏である確率を求めなさい
でした。
ここで、問題はコインを同時に振るとなっていますが、連続で振ると考えます。
連続で振っても、同時に振っても結果は変わらないはずです。
実際、コインを同時に振っても、どちらかがわずかに早く表か裏が決まりますよね。
ぴったり同時にコインが止まることの方が珍しいです。
これは、連続で振っているのと同じことです。
さて、コインを連続で振ると決めて、
- 2枚とも表になるパターン
- 1枚は表、もう1枚は裏になるパターン
のどちらの確率が大きくなるかを考えます。
まずは1枚目を振ります。
その結果が、表だったとします。
このとき、”2枚とも表になるパターン”と”1枚は表、もう1枚は裏になるパターン”のどちらの可能性も残っていますね。
続いて、2枚目を振り表であれば”2枚とも表”になりますし、裏になれば”1枚は表、もう1枚は裏”になります。
つまり、1枚目を振って表だったときは、
$$\text{2枚とも表になる確率} = \text{1枚は表、もう1枚は裏になる確率}$$
となるのです。
では、1枚目を振って裏だった場合はどうでしょうか？
このとき、”2枚とも表になるパターン”は、この時点で可能性が無くなりました。
一方、”1枚は表、もう1枚は裏になるパターン”はまだ可能性が残っています。
2枚目のコインが表であれば、”1枚は表、もう1枚は裏になるパターン”になれるのです。
よって、1枚目を振って裏だったときは、
$$\text{2枚とも表になる確率} < \text{1枚は表、もう1枚は裏になる確率}$$
となるのです。
トータルで考えると、
$$\text{2枚とも表になる確率} < \text{1枚は表、もう1枚は裏になる確率}$$
であることがわかりますね。
スポンサーリンク
まとめ
どうでしたでしょうか？
ここでわかって欲しかったのは、確率の問題ではなぜコインやサイコロなどを”区別する”必要があるかどうかでした。
区別しないと、それぞれのパターンが出る確率が変わってしまうからですね。
まだよくわからなかった人は、時間をおいてもう一度読み返してみてください。
きっといつかわかる日が来ます！勉強なんてそんなもんです。
質問もお待ちしていますので、下のコメントにメッセージを送ってくださいね。
では、このページの重要ポイントをまとめて終わりましょう。
確率の問題は、コインやサイコロ、くじや玉などは、基本的に、区別して考えること！
区別するとは、それぞれに名前を付けて違うものとして考えることです。
区別しないといけない理由は、区別しなかったら
それぞれのパターンになる確率が違ってくるから
です。
確率の問題は、どのパターンも同じ確率で起こる状況で考えないといけません。
これを”同様に確からしい”といいます。
では、また会いましょう。