【高校数学（組み合わせ）】コンビネーション（nCr）の計算方法のコツ – できるだけ楽に計算しよう

2018年9月26日2018年9月27日

組み合わせの計算方法（コンビネーション\({}_nC_r\)）

まずは、コンビネーション（\({}_nC_r\)）の使い方と計算方法を復習しましょう。

 

いきなりですが、次の問題を考えます。

 

力技で解いてみる

まずは、力技で数えてみましょう。

1枚目と2枚目に出るくじをすべて書き出すと、

です。

※「2-1」や「4-2」などが考えられてないのは、「1-2」や「2-4」と同じだと考えているからです。

 

すべての組み合わせを足し合わせると、

$$4+3+2+1=10$$

なので、答えは「\(10\)通り」となります。

 

コンビネーションを使えば簡単に計算できる

中学数学の知識の範囲だと、上のようにすべての組み合わせを書き出して、数えるしかありませんでした。

しかし、高校数学で登場するコンビネーションを使えば、もっと楽にすべての組み合わせを計算できます。

 

例えば、上の問題であれば、全部で5つの中から2つを選ぶ場合の組み合わせの数ですので、次のように表現できます。

$$\text{5つの中から2つを選ぶ場合の組み合わせの数}={}_5C_2$$

これを計算すればよいのです。

 

計算方法は、まず\({}_5C_2\)の\(2\)に注目します。

この数を1ずつ1になるまで減らしていきます。そしてそれらの数を掛けます。

つまり、

$$2 \times 1$$

ですね。

 

これを分数の分母へ配置します。

$${}_5C_2 = \frac{?}{2 \times 1}$$

分子はまだわかっていません。

 

次に、\({}_5C_2\)の\(5\)についても、1ずつ1になるまで減らしていき、掛け算します。

ただし、掛ける数は、分母で掛けている数（すなわち、2つ）とします。

$$5 \times 4$$

 

これを分子に書いて、

$${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$$

としましょう。

 

後は、これを計算するだけです。

\begin{align}
{}_5C_2 &= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \\
&= \frac{20}{2} \\
&= 10
\end{align}

前の力技で計算したときと同様に答えになりましたね。

 

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コンビネーション\({}_nC_r\)の計算のコツ

コンビネーション\({}_nC_r\)の計算方法はわかったと思います。

次は、これをいかに簡単に計算するかを考えていきましょう。

 

例題として、次の計算をしましょう。

 

これを素直に計算してみます

まずは、分母に4から1の数字を掛けます。

$${}_6C_4 = \frac{?}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

 

次に、分子に6から1ずつ減らしていった数を分母の数と同じだけ掛けます。

$${}_6C_4 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

 

これを計算して、

\begin{align}
{}_6C_4 &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\
&= \frac{360}{24} \\
&= 15
\end{align}

ですね。

結構、計算が大変だったでしょう。

 

計算を楽にする方法①：分母・分子を計算してしまう前に約分する

この計算を楽にする方法の一つ目は、

分母・分子を計算してしまう前に約分する

です。

 

どういうことか実際の計算で見てきます。

まずは、

\begin{align}
{}_6C_4 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
\end{align}

までは同じです。

 

ここで、分母・分子を先に計算してしまうのではなく、分母と分子を見て同じ数があれば消してしまいます。

すなわち、約分をするのですね。

 

さらに、\(2\)と\(6\)も約分できます。

 

よって、

\begin{align}
{}_6C_4 &= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\
&= 3 \times 5 \\
&= 15
\end{align}

となります。

すごく簡単な計算だけで求めることができましたね。

 

\({}_nC_r = {}_nC_{n-r}\)を使う

もう一つ、コンビネーションの計算を簡単にする方法があります。

それが、

コンビネーションの形を変形する

ということです。

 

コンビネーション\({}_nC_r\)は、次のような等式が成り立ちます。

$${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$$

右側の数字を二つの数字の引き算に直すんですね。

 

この変形を\({}_6C_4\)に使うと、

\begin{align}
{}_6C_4 &= {}_6C_{6-4} \\
&= {}_6C_2
\end{align}

となります。

 

この計算は簡単ですね。

\begin{align}
{}_6C_2 &= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \\
&= \frac{30}{2} \\
&= 15
\end{align}

となります。

 

この変形は、\({}_nC_r\)の\(r\)が大きな数字のときに便利です。

その理由は、\(n-r\)が小さくなるからですね。

「\(r\)が大きいな」と感じたら、この変形を使って簡単にして計算しましょう。

 

以上、コンビネーション\({}_nC_r\)の計算を簡単にする二つの方法を紹介しました。

• 分母と分子を計算する前に約分する
• 簡単な形に変形する

この二つの方法は、テストなどで本当に役に立つテクニックです。

ぜひ、使えるようになりましょう。

 

まとめ

• 組み合わせの計算に使用するコンビネーション\({}_nC_r\)の計算方法を学んだ
• 計算を簡単にするためのテクニックは二つ
  1. 分母と分子を計算する前に約分する
  2. 簡単な形に変形する