【中学2年数学(確率)】確率の求め方 – たった1つの公式ですべてわかる

2020年5月20日

ここでの内容は、こんな人に向けて書いています
  • 中学の確率の求め方がわからない
  • 確率の公式を知りたい
  • 公式を使った問題の解き方を知りたい

中学校の確率の問題は、基本的にはたった一つの公式を覚えるだけです。

逆に言うと、この公式を覚えて使いこなすことができないと、確率の問題は解けません。

ここでは、公式を紹介した後、実際に使って問題を解くことで、公式を自分のものにすることを目指します。

【動画解説】
※記事の内容はもっと詳しい説明となっていますので、記事にも目を通してみてくださいね。

たった一つの公式を使って求めることができる中学の確率

中学校2年で習う確率の公式は、たったの一つです。

確率は、

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$$

で計算できます。

これだけです。

どんな確率の問題もこの公式さえ使うことができれば解けてしまいます。

 

公式の分子と分母には、”場合の数”が入りますね。

分母には”すべての場合の数”、分子には”ある条件が起こる場合の数”です。

これら場合の数について「何だ?」と思った人は、まずは以下のページで場合の数について学びましょうね。

 

実際に使って覚えよう

公式を理解して、覚えるには実際に使ってみるのが一番です。

 

簡単な問題からはじめよう

まずは、簡単な確率の問題を例にします。

確率の問題①

一つのサイコロを振って2の目が出る確率を求めなさい。

という問題を考えてみましょう。

 

みなさん、

「こんなの考えるまでもなく、答えは\(\frac{1}{6}\)だろ」

と思いましたか?

 

正解です!

 

では、なぜ\(\frac{1}{6}\)とわかったのでしょうか?

それは、まずサイコロには1~6までの6個の目があるということがわかっています。

そして、サイコロの目が2の場合は一つしかないということもわかっています。

 

ここで、もう一度確率の公式を思い出しましょう。

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$$

でしたね。

 

あなたは、この問題での”ある条件が起こる場合の数”と”すべての場合の数”は、

  • ある条件が起こる場合の数 = サイコロの目が2である場合の数 = 1通り
  • すべての場合の数 = サイコロの目は1~6まで = 6通り

ということを無意識に判断して、

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}} = \frac{1}{6}$$

とわかったのです。

 

このように、”ある条件が起こる場合の数”と”すべての場合の数”さえわかれば、確率を計算できるのです。

 

場合の数から確率を求める練習をしよう

では、もう一問出題します。

確率の問題②

以下ように三枚のカードがあります。

これをランダムに並び替えたときにできる三桁の数が、偶数になる確率を求めなさい。

 

このような問題は、先ほどのサイコロの問題のように、直感からはわからないかもしれません。

 

こんなときは、確率の公式

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$$

を考えていきましょう。

この問題で、”ある条件”とは”三桁の数が偶数になる”ということです。

 

まずは、”すべての場合の数”を求めましょう。

すべての場合の数を求めるには、すべてのカードの並びを描いてみるのが確率です。

これを描くと、

となりますね。

全部で6通りあるのがわかります。

よって、すべての場合の数は6通りです。

 

では、この中で三桁の数が偶数になる場合の数は何通りでしょうか?

偶数になるには、一の位の数が偶数であればよいので、以下の2つの場合が偶数となっています。

よって、2通りです。

 

これらを、確率の公式に代入して、

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

となり、答えは\(\frac{1}{3}\)となります。

 

場合の数が分かれば確率は求まる!

ここまで見てきたように、確率を求めるためには、場合の数を求めることが必要となります。

逆に言えば、

重要ポイント

場合の数を求めることができれば、確率も求めることができる

とも言えます。

特に中学校の確率の問題は、”すべての場合の数”と”ある条件が起こる場合の数”を調べるには、すべての並び方を書き出せばわかることが多いです。

 

なので、確率が苦手な人は、まずは場合の数を求めるところから練習しまましょう。

 

例えば、表裏があるコインを2回投げたとき、すべての場合の数を求めることができますか?

場合の数を考えるときは、一つずつ順番に考えていけばオッケーです。

 

この場合は、まず1回目を投げたときに、表だったときを考えます。1回目が表の場合、2回目は表と裏がありますね。なので、

  • 表ー表
  • 表ー裏

の2通りです。

次に、1回目が裏だった場合はどうでしょう。この場合も2回目は表と裏があります。よって、

  • 裏ー表
  • 裏ー裏

の2通りです。

よって、合計は、

$$2+2=4$$

となり、すべての場合の数は4通りというわけです。並べ方をすべて書き出せばいいということですね。

どうでしょうか?できましたか?

 

この並び方の書き出す方法として樹形図というものがあり、場合の数を求めるのにとても有効な方法です。

樹形図を使えるとたいていの確率問題は解けるようになりますので、ぜひマスターしましょう。詳しくは、以下のページで紹介しています。

 

さて、上のコインの例では4通りという答えでしたが、もしかすると3通りと思った人もいるのではないでしょうか?

そのような人は、

  • 表ー裏
  • 裏ー表

は一緒なんだから合わせて1通りと考えるべきだと考えたと思います。

しかし、これを使って確率を求めてしまうと間違えてしまうので注意しましょう。

 

このように、

  • 表ー裏
  • 裏ー表

を別のものとして考えることは、中学数学では”区別して解く”などと表現されます。

 

「なんで?」という人は、以下の記事でなぜそのように考えてはいけないかを説明していますので、見てみてくださいね。

 

まとめ

お疲れ様でした。

ここでは、中学の確率問題を解くために必須の、確率の公式について説明しました。

これが、理解できていないとどんな問題も解けないので、しっかりと理解しましょうね。

わからないことがあれば、下のコメント欄からメッセージをください。

 

では、重要ポイントを復習して終わりましょう。

重要ポイント

確率の公式は以下の一つだけです。

$$\text{確率} = \frac{\text{ある条件が起こる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}$$

 

場合の数がわかれば、確率もわかります。

場合の数を調べるには、樹形図など便利な道具があります。

そして、場合の数を考えるときは”区別して解く”が基本です。

このページをマスターした人は、”樹形図”と”区別して解く”についても知っておくと確率の理解度がぐっと上がりますよ!

 

公式を使いこなせるようになるには、実際に問題を解くのが一番です。

それでは、さようなら~。


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2020年5月20日中学数学, 確率

Posted by yoshi