トランプの並びは何通り？新しい組み合わせができる確率は？
トランプの並びは何通りあるのでしょうか。
例えば、車を運転中、前を走る車のナンバーがたまたま同じだったという経験を私はしたことがあります。
では、”二人でそれぞれトランプを混ぜたら、偶然二人のカードの並びが同じだった”ということはよくあることなのでしょうか。
結論を言ってしまうと、その確率は限りなく、本当に限りなくゼロに等しいです。
そのくらいトランプの並びの組み合わせは多いのです。
新品のトランプを買ったとします。封を切り、箱を開けて一度混ぜます。このときのトランプの並びはおそらく歴史上誰も作ったことのない並びになっているでしょう。
トランプで新しい並びができる確率はどのくらい？
世界一の大ベストセラーカードゲーム、それは間違いなくトランプではないでしょうか？
いつの時代になっても、どんなにすごいゲームが登場しても、人間がトランプをしなくなる日はこないような気がします。
特に子供の頃は、みんなで集まって様々なトランプゲームをしませんでしたか？
トランプは通常、1～13までの数字と、クラブ、ダイヤ、スペード、ハートの種類のマークの組み合わせで構成されています。
ですので、カードの枚数は、
$$13 \times 4 = 52\text{枚} \\$$
ですね。ジョーカーもありますが、今回はジョーカーは考えずに進めましょう。
では、この52枚の新品のトランプをシャッフルしたとしましょう。これで、カードの並びはバラバラになりました。
この状態のトランプの並びは、この長いトランプの歴史で一度でも存在したのでしょうか？
日本の人口だけでも、1億人がいます。そして、それらの人々は人生でトランプをシャッフルしたのは一度や二度ではないでしょう。
わたしの場合はどう少なく見積もっても、今までトータルで100回はシャッフルしてきました。※実際はもっとやったでしょう。
これだけでも、
$$1\text{億人} \times 100\text{回} = 100\text{億回}$$
です。100億回、トランプを並び替えたということです。
さらに、日本だけではなく、世界の人々がトランプの並びを今も作り続けています。
また、トランプの歴史は長いです。トランプという遊びが誕生して500年以上も経過しています。この長い間、新しいトランプ並びがドンドン作られてきたのです。
さすがにこれだけトランプが使われているのだから、いま私たちが作ったこのトランプの並びも、過去の誰かがいつぞや作った並びと同じなのではないでしょうか？
それを確認するには、確率を調べてあげればよいですね。
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確率を計算してみよう
では、トランプの並びの組み合わせ数を数えてみましょう。トランプを並べるには、次のようにすればよいですね。
まず、52枚のトランプから1枚を選びます。そして、次は残りの51枚の中からランダムに選びます。続いて、残りの50枚の中から1枚を選びます。
…とこれをカードが無くなるまで繰り返します。
数式で書くと、
$$52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \cdots \times 2 \times 1$$
ですね。少し、カッコつけて書くと、
$$52 \times 51 \times \cdots \times 2 \times 1 = 52!$$
です。
これを計算すればいいでしょう。
電卓を使って計算してみました。…が52から47まで掛けたところで桁数がオーバーしてしまいとても電卓では計算できそうにありません。
計算するには特別な計算機が必要です。
驚きの確率に！
自分では計算出来なかったので、グーグル先生に聞きました。すると驚きの数字が現れたのです。
なんと、
$$52!$$
を計算すると、
$$80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$$
になります。68桁の数です。
もう少し縮めて書くと、
$$8.0658 \times 10^{67}$$
です。途方もなく大きな数に思えますね。一回トランプを並び変えると、この組み合わせの中のどれか一つになると考えると、すごい確率です。
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人間だって負けてない！…はず
でも、初めに述べたように人間だって、かなりの数のトランプの並びを作ってきたはずです。
人間が作ってきたトランプの並びを、かなり人間びいきで計算してみましょう。
世界の人口は約70億です。
$$70 \times 100000000 = 7 \times 10^9$$
そして、トランプの歴史は1000年あるとしましょう。
$$7 \times 10^9 \times 1000 = 7 \times 10^{12}$$
「昔はもっと人口が少なかった？」ですって？…いいんです！人間ファイト！！
そして一人の人間は生まれて死ぬまで10000回シャッフルします。
「そんなにシャッフルしない？」…いいんです！人間ファイト！！
$$7 \times 10^{12} \times 10000 = 7 \times 10^{16}$$
計算結果が出ました！
人間が今までに作り出したトランプの並びは、かなり人間びいきで7×1016回
です。
トランプの組み合わせ、
$$8.0658 \times 10^{67}$$
と比べると、微々たるものですね。約1051倍の差があります。
人間の身長と太陽までの距離の差どころではありません。もっともっともーーと差があります。
このように確率で考えると、”今からトランプをシャッフルしてできるカードの並びは、今までで一度も作られたことのない新しい並びの可能性が高い”ということが分かるのです。
まとめ
- トランプの並びは、\(8.0658 \times 10^{67}\)通りある
- これは人間の身長と太陽までの距離以上の差がある（比較にならないほどある）
- 今あなたがトランプをシャッフルして新しい並びを作ると、その並びは今までに作られたことのない並びの可能性が（めっちゃ）高い