くじを引く順番で当たる確率は変わる? – 始めに引いた方がいいのか、後からがいいのか

この記事では、こんなことを紹介しています

何かを決める時の定番ゲームに「くじ引き」があります。

このくじ引きは一人ひとり順番にくじを引いていくのですが、引く順番によって当たりの出やすさに違いはないのでしょうか?

もしくじ引きの順番に有利不利があれば、それを知っているだけで今後の人生を少しだけ人より得できるかもしれません。

なので、ここではくじ引きの引く順番と当たる確率について、考えていきましょう!

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くじ引きは引く順番で当たる確率は変わるのか?

くじ引きは色々な場所で行われています。

学校の当番を決めるときや、お祭りのイベントで賞品がもらえたり、最近はスマホのアプリでもくじ引きアプリが登場しています。

くじを自分で引いて、それが当たりかどうかをドキドキしながら確認するのは面白いですよね。

 

賞品がもらえるときはできるだけ当たりたいですし、学校の嫌な仕事には当たりたくないですね。

では、くじを引く順番を自分が自由に選べるとして、当たりを引きたいときには、

始めに引いた方がいいのでしょうか?それとも、後から引いた方がいいのでしょうか?

ここでは、どのタイミングでくじを引くと当たりが出やすいのかを考えていきます。

 

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始めに引いた方がいいのか、後からがいいのか

例えば、お祭りで行われているくじ引きは、くじの枚数は100枚以上です。

しかし、まずはもっとくじの枚数が少ない状況を考えてみましょう。

 

くじの枚数を3枚とし、その中の1枚が当たりであるとしましょう。

この中からくじを1枚引きましょう。

 

そして、くじを引く順番は、

  • 1番最初がいいのか?
  • 2番目がいいのか?
  • 最後(3番目)がいいのか?

を考えていきます。

 

一番最初にくじを引く場合

まずは、最初にくじを引く場合を考えてみましょう。

この場合は簡単です。

3枚のくじの中から1枚の当たりくじを引く確率なので、

$$\text{当たりくじを引く確率} = \frac{1}{3}$$

ですね。

パーセントに直すと、\(33\)%の確率ということになります。

 

二番目にくじを引く

次は、2番目にくじを引くことを考えてみましょう。

2番目にくじを引くときに残っているくじの数は2枚です。

1番最初の人が1枚引いてしまっていますからね。

 

ですので、2枚中1枚が当たりくじの中から引きます。

ということは、当たる確率は、

$$\text{当たりくじを引く確率} = \frac{1}{2}$$

ですね。

パーセントに直すと、\(50\)%の確率です。

 

おっ!これは最初にくじを引く確率に比べて、高い確率です!

$$\text{1番目に引く:}33\% < \text{2番目に引く:}50\%$$

 

あれっ?!でも、ちょっと待ってください。

1番最初の人が当たりくじを引いてしまったら、そもそも2番目の人にはくじを引くチャンスすらないではないですか。

当たりくじは1枚なので、2番目の人にはハズレくじしか残っていません。

 

ということは、

1番目の人がハズレを引いてくれた上で、自分が当たりを引く

という条件で確率を考える必要があります。

1番目の人がハズレを引く確率は、3枚中2枚がハズレくじですので、

$$\text{1番目の人がハズレを引く確率} = \frac{2}{3}$$

となります。

 

その上で、自分が当たりくじを引く確率は\(\frac{1}{2}\)だったので、これらを掛ければ「1番目の人がハズレを引いてくれた上で、自分が当たりを引く確率」が求まります。

ワンポイント

二つの連続して起こることに対しては、それら確率を掛け算することで、その二つのことが共に起こる確率となります。

なので、

\begin{align}
\text{2番目の人が当たりくじを引く確率} &= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{3}
\end{align}

となり、\(33\)%です。

 

結局、1番最初に引く場合と同じ確率になってしまいましたね。

$$\text{1番目に引く:}33\% = \text{2番目に引く:}33\%$$

 

最後にくじを引く

では、最後にくじを引く場合です。

始めのくじの枚数は3枚、引く人は3人なので、最後にくじを引くということは、残った最後の1枚をとるしかないということです。

選べないってなんか寂しいですね…

 

さて、最後にくじを引く人が当たるためには、1番目の人と2番目の人がハズレを引いてくれればオッケーです。

すると、自動的に最後の1枚が当たりくじになっています(他力本願…)。

 

「ハズレを引く」ということは、言い換えれば「当たりを引かない」ということです。

ここまでで、1番目の人がハズレを引いて、さらに2番目の人もハズレを引く確率を求めればいいわけです。

 

1番目の人がハズレを引く確率は、3枚の中にある2枚のハズレくじを引けばよいですので、

$$\text{1番目の人がハズレを引く確率} = \frac{2}{3}$$

です。

そして、次に引く2番目の人が2枚中1枚のハズレくじを引く確率は、

$$\text{2番目の人がハズレを引く確率} = \frac{1}{2}$$

です。

 

したがって、これらが同時に起こる確率は、

\begin{align}
\text{1と2番目の人がハズレを引く確率} &= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{3}
\end{align}

となります。

この確率(1と2番目の人がハズレを引く確率)は、3番目の人が当たりを引く確率と同じだという話をしましたね。

ですので、

\begin{align}
\text{3番目の人が当たりを引く確率} = \frac{1}{3}
\end{align}

となります。

 

これは、1番目と2番目と同じ確率ですね。

$$\text{1番目に引く:}33\% = \text{2番目に引く:}33\% = \text{3番目に引く:}33\%$$

 

もっと知りたい人へ

「くじの数が多いとどうなの?」

「引く順番によって、有利不利が変わる場合はないの?」

など、もっとくじの確率について知りたい人は、以下のページをご覧ください。

引く順番によって有利不利がわかれるくじ引きも実はあるんです!

 

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まとめ


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