【高校数学（三角比）】三角比の求め方と覚え方 – sin, cos, tan
- \(\sin, \cos, \tan\)が何のことなのかイマイチ分からない
- \(\sin, \cos, \tan\)の求め方がわからない
- \(0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)の三角比（\(\sin, \cos, \tan\)）が覚えられない
三角比を学ぶ上で必ずマスターしなければいけない知識があります。
それは、
- \(\sin, \cos, \tan\)は何なのか
- \(\sin, \cos, \tan\)がどのようにして求められるのか
- \(0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)の三角比\(\sin, \cos, \tan\)はどのような値となるのか
です。
この三つのことを覚えないと三角比を学ぶ上で、何もできなくなってしまいます。
なので、この三角比の基礎の基礎である最初のポイントは諦めずにしっかりと学んでください。
それでは初めていきましょう。
三角比とは何か
簡単に言ってしまえば、
三角比とは、直角三角形の各辺の長さの比を表したもの
です。
なかなか言葉ではわかりにくいのですが、よく測量（ある点とある点の距離を測ること）などで使われる計算式くらいに覚えておきましょう。
測量では、三角比（\(\sin\)（サイン）、 \(\cos\)（コサイン）、\(\tan\)（タンジェント））というものを使用して点と点との間の距離を求めます。
日常の生活や仕事などでは2点間の距離を測ることがよくあります。
ですので、この三角比というものを理解しておく必要があるんですね。
まずは、三角比（\(\sin, \cos, \tan\)）の求め方を図でイメージして覚えましょう。
上の図のように、直角三角形の頂点を\(A, B, C\)、各辺を\(a, b, c\)とします。
また、直角三角形の左の鋭角を\(\theta\)（シータ）とします
必ず左の角度を\(\theta\)としてください。
では、それぞれ\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)の求め方を見ていきましょう。
\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)はそれぞれ図を見て視覚的に覚えるのがベストです。
下の図の矢印の動きを覚えましょう。
色で分けました。
\begin{align}
\sin{\theta} &= \frac{b}{c} \\
\cos{\theta} &= \frac{a}{c} \\
\tan{\theta} &= \frac{b}{a}
\end{align}
矢印は分母に置く文字から分子に置く文字へ向かっています。
頭の中で矢印を動かすイメージが持つことができればOKです。
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頭文字のアルファベットで覚える
三角比の覚え方で、よく\(\sin, \cos, \tan\)の頭文字のアルファベットを使った方法があります。
例えば、\(\sin\)の頭文字は\(s\)ですが、筆記体で書くと、
ですので、筆記体の書き順と上の図で見た矢印の動きを見比べてみてください。
アルファベットの書き順と矢印の動きが似ていますね。
次に、\(\cos\)の頭文字\(c\)と矢印の動きを比べてみましょう。
こちらも書き順と矢印の動きは一致しています。
最後に、\(\tan\)の頭文字\(t\)と矢印の動きです。
1の線をペンで書くときの動きと対応させて覚えましょう。
どれも、アルファベットの頭文字の書き方を考えれば、三角比を思い出すことができるようになっていますね。
\begin{align}
\sin{\theta} &= \frac{b}{c} \\
\cos{\theta} &= \frac{a}{c} \\
\tan{\theta} &= \frac{b}{a}
\end{align}
\(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)の三角比
では、次に\(\theta=30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)のときの、三つの三角形を覚えましょう。
テストでは、これらの値は覚えているものとして出題されますので、覚えておかないと絶対に問題は解けません。
下の図を見てください。
それぞれ、左下の角度が\(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)の直角三角形です。
覚えてほしいのはそれぞれの辺の長さです。
長さを覚えれば、三角比は前の節で紹介した、
\begin{align}
\sin{\theta} &= \frac{b}{c} \\
\cos{\theta} &= \frac{a}{c} \\
\tan{\theta} &= \frac{b}{a}
\end{align}
から求めることができますね。
これら三つの三角形は三角比や三角関数の授業でも使うので確実に覚えましょう。
では、この図を見ながらで良いので、次の問題を解きましょう。
それぞれ\(\theta=30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)を求めよ。
\(30^{\circ}\)のときの三角比
まず、\(\theta=30^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)を求めてみましょう。
\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)のそれぞれの矢印の動きは、下の図のようになるのでしたね。
上の図を見て、対応する辺の数字を当てはめてみましょう。
当てはめて見ると、
\begin{align}
\sin{30^{\circ}} &= \frac{1}{2} \\
\cos{30^{\circ}} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\tan{30^{\circ}} &= \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align}
になりますね。
分母と分子が間違えやすいので注意してください。
矢印が始まっている方が分母ですよ。
答えを図に当てはめると以下のようになります。
\(45^{\circ}\)のときの三角比
次に、\(\theta=45^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)を求めてみましょう。
\(\theta=30^{\circ}\)のときと同様に、矢印の動きを確認すると、以下の図のようになります。
上の図を参考に、対応する辺の数字を当てはめてみましょう。
当てはめて見ると、
\begin{align}
\sin{45^{\circ}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos{45^{\circ}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\tan{45^{\circ}} &= \frac{1}{1} = 1
\end{align}
になりますね。
\(\tan{45^{\circ}=1}\)となることに注意してください。
答えを図に当てはめると以下のようになります。
\(60^{\circ}\)のときの三角比
最後に、\(\theta=60^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)も全く同じようにして求めてみましょう。
上の図から対応する辺の数字を当てはめてみると、
\begin{align}
\sin{60^{\circ}} &= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\
\cos{60^{\circ}} &= \frac{1}{2} \\
\tan{60^{\circ}} &= \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}
\end{align}
になりますね。
\(\tan{60^{\circ}}\)は\(\sqrt{3}\)になることに注意してください。
答えを図に当てはめると以下のようになります。
\(30^{\circ}、45^{\circ}、60^{\circ}\)のときの三角比
ここまで完成できましたか？すべてをまとめた図を示しておきます。
「この三角比（全9個）を暗記しましょう！」と言いたいところですが、それはちょっと大変ですよね。
なので、直角三角形の各辺の長さだけ覚えましょう。
例えば、\(\cos{30^{\circ}}\)を知りたいときには、\(30^{\circ}\)の直角三角形を思い出します。
紙に書いても頭の中でも構いませんが、全ての辺の数字は間違えないようにしましょう。
私の場合は、テスト用紙に求めたい三角比の三角形を書いてました。
三角形がかけたら、\(\cos\)の動きにそって値を求めます。
すると、
$$\cos{30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
とわかりますね。
このようにして、三角比を思いだしましょう。その方が暗記する量も減ります。
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\(0^{\circ}\)と\(90^{\circ}\)の三角比
\(0^{\circ}\)と\(90^{\circ}\)にも三角比はあります。
これについても覚えておく必要があるため、考え方を解説していきましょう。
直線を直角三角形と考える
これも三角形を描いて、各辺それぞれの長さから三角比（\(\sin, \cos, \tan\)）を求めると良いでしょう。
しかし、角度が\(0^{\circ}\)の三角形とはどういうことでしょうか？
まずは、下の図のような普通の直角三角形を考えてみます。
ここから、\(\theta\)を\(0\)になるように、どんどん小さくしていきます。
すると、最後は横線になることがわかりますね。
この横線を\(\theta=0^{\circ}\)の三角形だと思って三角比を求めるんです。
※今は意味不明でも大丈夫です。後で例題を考えていきますので、そこでどのように使うかが分かります。
\(\theta=90^{\circ}\)についても同様です。
三角形の左下の角度\(\theta\)を、どんどん\(90^{\circ}\)へ近づけていきましょう。
この縦線を\(\theta=90^{\circ}\)の三角形だと思って三角比を求めるんです。
では、実際にどのように考えればよいかを以下の例題で説明しましょう。
例題で求め方を覚えよう
\(0^{\circ}\)の三角比
次の例題を解きながら進めましょう。
\(\theta=0^{\circ}, 90^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)を求めよ。
上で説明したように、\(\theta=0^{\circ}\)は横線と考えます。
元々この横線は三角形からできていたので、三角形の各辺が横線のどの位置になったかを考えると、下の図のようになります。
つまり、\(a\)の長さを\(1\)とすれば、
\begin{align}
a &= 1 \\
b &= 0 \\
c &= 1
\end{align}
ですね。
よって、\(\theta=0^{\circ}\)の三角比を考えると、
\begin{align}
\sin{0^{\circ}} &= \frac{b}{c} = \frac{0}{1} = 0 \\
\cos{0^{\circ}} &= \frac{a}{c} = \frac{1}{1} = 1 \\
\tan{0^{\circ}} &= \frac{b}{a} = \frac{0}{1} = 0
\end{align}
となります。
\(90^{\circ}\)の三角比
次は\(90^{\circ}\)です。例題を解きながら進めましょう。
\(\theta=0^{\circ}, 90^{\circ}\)の\(\sin{\theta}, \cos{\theta}, \tan{\theta}\)を求めよ。
上で説明したように、\(\theta=90^{\circ}\)は縦線と考えます。
元々この縦線は三角形からできていました。
三角形の各辺が縦線のどの位置になったかを考えると、下の図のようになります。
つまり、\(b\)の長さを\(1\)とすれば、
\begin{align}
a &= 0 \\
b &= 1 \\
c &= 1
\end{align}
ですね。
よって、\(\theta=90^{\circ}\)の三角比を考えると、
\begin{align}
\sin{90^{\circ}} &= \frac{b}{c} = \frac{1}{1} = 1 \\
\cos{90^{\circ}} &= \frac{a}{c} = \frac{0}{1} = 0 \\
\tan{90^{\circ}} &= \frac{b}{a} = \frac{1}{0} = \text{存在しない}
\end{align}
となります。
\(\tan{0^{\circ}}\)は分母が\(0\)になります。
分母が\(0\)になるのは分数のルール違反なので解は存在しません。
最後に復習しよう
いかがでしたか。
以上で\(0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}\)の三角比をすべて求めることができました。
三角比はここで学んだことを使い学習が進みます。
ここをしっかりと理解しないと今後、授業についていくのが厳しくなります。
三角形の求め方をしっかり覚えて、スムーズに求められるまで繰り返し学習しましょう。
では、以下に重要なポイントをまとめて終わります。
- \(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)の三角比は三角形の辺の長さをしっかり覚えると求めることができる
- \(0^{\circ}, 90^{\circ}\)の三角比は直線を三角形と考えれば、上と同じように求めることができる
- 分母が\(0\)になると解なしになることに注意