答えが連続な数になる不思議な割り算

2018年1月19日2020年5月19日

答えに連続な数を持つ割り算

不思議な答えになる計算は多くありますが、その中でも答えが連続な数になる割り算を知っていますか？

例えば、

$$10 \div 81$$

の割り算を計算してみましょう。

$$10 \div 81 = 0.12345679$$

答えの小数点以下に注目すると、1,2,3…と連続して数が増えていってますね。

ただし、注意点は最後の79です。8が飛ばされてますね。これは、わたしの書き間違いではなく、こうなってしまうのです。おしいっ！

 

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二桁の数が並ぶ割り算もある

上では、答えが一桁の数が連続的に並ぶ割り算(10÷81)を紹介しましたが、二桁の数が並ぶ割り算もあるのです。

以下の割り算を行ってみてください。もちろん電卓で結構です。

$$100 \div 9801$$

答えは、

$$100 \div 9801 = 0.010203040506\cdots$$

ですね。

小数点以下の数に注目すると、01,02,03,…と続いています。答えのもっと先まで見ていくと、

\begin{align}
100 \div 9801 = 0.010203040506070809101112131415\cdots95969799
\end{align}

ですが、見づらいのでスペースを入れて書き直すと、

\begin{align}
100 \div 9801 = 0.\ 01\ 02\ 03\ 04\ 05\ 06\ 07\ 08\ 09\ 10\ 11\ 12\cdots95\ 96\ 97\ 99
\end{align}

となっています。

答えは99まで続くのですが、ここでも最後から一つ前の98がないことに注意です。

 

三桁もあるよ

どんどんいきましょう。二桁の次は三桁です。下の割り算をやってみます。

$$1000 \div 998001$$

この割り算の答えは、

\begin{align}
1000 \div 998001 = 0.001002003004005\cdots996997999
\end{align}

となります。これもスペース入れて書き直すと、

\begin{align}
1000 \div 998001 = 0. 001\ 002\ 003\ 004\ 005\cdots996\ 997\ 999
\end{align}

となり、三桁の連続した数で構成されています。

これも最後に注意ですね。998はありません。

 

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どのような数で割るこのような答えになるの？

上で見たような数で割ると、どうしてこような答えが連続した数になるのでしょうか？

ここまで、見てきた割り算を振り返ってみましょう。

\begin{align}
& 10 \div 81 \\
& 100 \div 9801 \\
& 1000 \div 998001
\end{align}

割られる数の10,100,1000は答えの小数点の位置を変えるだけなので、特に重要ではありません。

注目すべきは、割る数の、

$$81, 9801, 998001$$

です。

実は、これらの数はそれぞれ、

$$9, 99, 999$$

の二乗となっているのです。

\begin{align}
81 & = 9^2 \\
9801 & = 99^2 \\
998001 & = 999^2
\end{align}

なので、同じように連続した4桁の数、5桁の数、…を答えに持つ割り算を作りたい場合は、分母を、

\begin{align}
& 9^2 \\
& 99^2 \\
& 999^2 \\
& 9999^2 \\
& 99999^2 \\
& \cdots
\end{align}

と増やしていけばよいでしょう。

 

以上、割り算から連続した数を導く計算を紹介しました。

 

まとめ

• \(81\)、\(9801\)、\(998001\)で\(1\)を割ると、答えの小数部分に連続した数が現れる
• \(81\)、\(9801\)、\(998001\)はそれぞれ\(9\)、\(99\)、\(999\)の二乗となっている
• これを利用すれば、何桁でも連続した数の答えを導くことができる